ОГЛАВЛЕHИЕ
ВЕЙЛЬ (Weyl) Герман (1885-1955) – математик и философ, член Национальной Академии Наук США, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1927). Образование получил в Геттингенском Университете (1908). Профессор математики Политехнического Института в Цюрихе (Швейцария, 1913-1930), Геттингенского Университета (Германия, 1930-1933), Принстонского Института перспективных исследований (США, с 1933). Главные труды (в философии): "Континуум" (1918), "Пространство. Время. Материя" (1918), "Философия математики и естественных наук" (1922 – издание в Германии; 1934 – издание в СССР под названием "О философии математики" в виде сборника статей с сокращениями; 1949 – издание в США), "Теория групп и квантовая механика" (1928), "Разум и природа" (1934), "Математика и логика" (1946), "Полвека математики" (1951), собрание научных трудов (1968, Берлин, в 4 тт.). Главные направления исследований: алгебраическая теория чисел, теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений; проблемы симметрии. Основополагающие результаты достигнуты В. в направлении теории непрерывных групп и их представлений с приложениями в современной математической физике и геометрии. В. принадлежит основополагающая концепция о классификации физических объектов по свойственным им группам симметрии (1928, независимо от В. эту идею выдвинул Е.Вигнер, получивший за нее Нобелевскую премию по физике (1963), уже после ухода В. из жизни). В. – автор самого первого и наиболее выдающегося учебника по общей теории относительности ("Пространство. Время. Материя"), содержавшего также физические идеи, которые оказали определяющее влияние на развитие физических наук. Согласно В., математику многие выдающиеся мыслители рассматривали как нечто, "далеко выходящее за пределы эмпирических данных или рациональных дедуктивных умозаключений". Одним из оснований для этого явилась несводимость, например, иррациональных и отрицательных чисел (как достаточно элементарных понятий) ни к дедукциям из эмпирических данных, ни к объектам, заведомо существующим во внешнем мире. При этом В. писал по поводу "вечных истин": "Геделю, с его истовой верой в трансцендентальную логику, хочется думать, что наша логическая оптика лишь немного не в фокусе, и надеяться, что после небольших коррекций мы будем видеть четко, и тогда всякий согласится, что мы видим верно. Но того, кто не разделяет этой веры, смущает высокая степень произвола в системе Z /Цермело – C.C./ или даже в системе Гильберта... Никакой Гильберт не сможет убедить нас в непротиворечивости на вечные времена. Мы должны быть довольны, что какая-нибудь простая аксиоматическая система математики пока выдерживает проверку наших сложных математических экспериментов. Если на более поздней стадии появятся расхождения, то мы еще успеем сменить основания" ("Философия математики и естественных наук"). В. также отмечал по этому поводу, что "Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем". В. по проблемам оснований математики утверждал (1940), что "несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему), мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях, на которых зиждется математика", а вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, для В. оставался открытым, т.к. ему не было известно какое-либо направление, "которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный "окончательный" ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. "Математизирование" может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным". Для В. математика была не сводом точных знаний, а видом умственной деятельности, который необходимо рассматривать в исторической перспективе, т.к. "рациональные конструкции и реконструкции оснований при таком подходе предстают перед нами как попытки исказить историческую правду". В., как и Э.Борель, Р.Бэр и А.Лебег, выражая сомнения в применимости теоретико-множественных методов, тем не менее применял их прагматически и с существенными оговорками относительно надежности результатов: "сейчас мы менее, чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой "кризис" подобно тому, как переживают его все и вся в этом мире. ...На первый взгляд кажется, что будто нашей повседневной работе он не особенно мешает. Тем не менее я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно "безопасными", и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире, в общем контексте бытия человека, интересующегося, страдающего и созидающего" ("Математика и логика"). Исследования В. по основаниям математического анализа показали его логическую необоснованность и необходимость пожертвовать некоторыми его разделами: "неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище использовать. Такие доказательства не могут заменить построение – подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия "доказательства" ... Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами" ("Континуум"). В 1927 В. по поводу отношения Д.Гильберта к интуиционизму писал о том, что с интуиционистской точки зрения обоснованна только "часть классической математики, причем далеко не самая лучшая, – горький, но неизбежный вывод. Гильберту была невыносима мысль об этой ране, нанесенной математике". Исследования В. привели его к выводу о бессодержательности формализованной математики, даже при условии доказательства ее непротиворечивости. Классическая математика была спасена Гильбертом ценой ее формализации и основательного пересмотра содержания, что превратило ее, как писал В., "из системы с интуитивно воспринимаемыми результатами в игру с формулами по определенным, раз и навсегда установленным правилам ...Вполне возможно, что математика Гильберта представляет собой великолепную игру с формулами, более увлекательную, чем шахматы. Но что, спрашивается, дает такая игра нашему разуму, если ее формулы умышленно лишены материального содержания, посредством которого они могли бы выражать интуитивные истины '?". Тем не менее, В. полагал, что в математике Гильберт, по существу, ограничил свои принципы интуиционистскими. В., признавая "невыносимую громоздкость" конструктивных доказательств в интуционизме, тем не менее оспаривал тезис о большей силе традиционных способов построения новых математических объектов и доказательств по сравнению с конструктивными: "Приятно утешать себя надеждой, что сознанию откроются истины более глубокие по своей природе, чем те, которые доступны непосредственно интуиции" ("Разум и природа"). В труде В. "Философия математики и естественных наук" В. систематически изложил интуиционистские концепции математического знания. В. отвергал аксиому сводимости (редукции) Уайтхеда – Рассела, являющуюся базисным основанием логицистского подхода в математических науках, т.к. считал, что теории Уайтхеда и Рассела строят математику на основаниях "не просто логики, а своего рода рая для логиков, снабженного всем необходимым "инвентарем" весьма сложной структуры... Кто из здравомыслящих людей... верит в этот трансцендентальный мир? ...Эта сложная структура требует от нас не меньшей веры, чем учения отцов церкви или средневековых философов-схоластов". ("Философия математики и естественных наук".) Суть философской критики логицистских концепций состояла в том, что если верен основной тезис логицизма (согласно которому, по Куайну, вся математика сводится к логике), то "вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной наукой, теоремы которой следуют из законов мышления", но тогда "каким образом с помощью дедуктивного вывода одни лишь законы мышления могут привести к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы, к различным применениям чисел, геометрии пространства, акустике, электромагнетизму и механике. Именно так и следует понимать критическое замечание В. "Из ничего и следует ничто" (М.Клайн "Математика. Утрата неопределенности"). В., следуя истории математики и взглядам лидера интуиционистов Л.Э.Я.Брауэра на логику, утверждал, что классическая логика "была абстрагирована из математики конечных множеств и их подмножеств... Забыв о столь ограниченном происхождении, кто-то впоследствии ошибочно принял логику за нечто, стоящее над математикой и предшествующее всей математике, и ...без всякого на то основания применил к математике бесконечных множеств. В этом грехопадении и первородный грех всей теории множеств, за что ее и покарали антиномии. Удивительно не то, что такие противоречия возникли, а то, что они возникли на столь позднем этапе игры". Позднее В. по этому поводу скажет: "Принцип исключенного третьего может быть верным для Господа Бога, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики", а "логика – это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными... Неверно утверждать, что доказательство не играет никакой роли: оно сводит к минимуму риск противоречий". О понятии бесконечного множества В. писал в 1946: "Последовательность чисел, которые возрастая, превосходят любой достигнутый ими предел ...есть многообразие возможностей, открывающихся перед бесконечностью; она навсегда останется в стадии сотворения, но не переходит в замкнутый мир вещей, существующих в себе. Источник наших трудностей, в том числе и антиномий, более фундаментален по своей природе, чем указанный принципом порочного круга Рассела, и состоит в том, что мы одно слепо превратили в другое. Брауэр ...показал, как далеко классическая математика, питаемая верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте". Математики начала 20 в. тратили столько энергии и времени на аксиоматизацию, что в 1935 В., признавая ее ценность, призвал к занятиям более содержательными проблемами, т.к. "аксиоматика лишь придает содержательной математике точность и организует ее. Аксиоматика выполняет функцию каталогизации или классификации". В. был уверен в том, что математика отражает порядок, существующий в природе: "В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий, ...мечта ...о существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики". При этом В. совершенно не исключал того, что именно мечта о гармонии Вселенной "вдохнула жизнь в научное мышление", т.к. наука могла бы погибнуть без "трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением – с другой" ("Философия математики и естественных наук"). Чистая математика в представлениях В. обладала "нечеловеческим свойством звездного света – сверкающего, яркого, но холодного". Типичному представителю интуиционизма в математике, В. тем не менее была близка концепция суждения о правильности математики по степени применимости ее к физическому миру: "Насколько убедительнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга-Шредингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика" ("Философия математики и естественных наук"), причем и теоремы в математике, и утверждения в физике "могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат пересмотру, но надежным критерием их правильности служит их соответствие реальности". Построения математического ума для В. являлись "одновременно и свободными и необходимыми. Отдельный математик свободен как угодно определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? ...некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих ученых, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления". В ответ на замечания, что интуиционизм не затрагивает вопросы о применениях математики в естественных науках, никак не связывает "математику с восприятием", В. писал: "Всякому, кто хотел бы по-прежнему верить в истинность математических утверждений, в истинность, основанную на опыте, придется принять критику, которой подверг основания математики Брауэр" ("Полвека математики"). Будущее математических наук во все времена их развития никому не внушало особых надежд, т.к. их природа никогда не была понятной полностью. Однако, как писал М.Клайн, математика продолжает бороться с проблемами, возникающими в ее основаниях.