ОГЛАВЛЕHИЕ
>>>
Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.
Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:
На основе этих допущений ранее были даны строгие определения логических связок "и", "или", "если, то" и др. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями связок. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением.
Согласно принятым определениям:
С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.
Логика высказываний – это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:
Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание "Сейчас день", В – высказывание "Сейчас светло" и С – высказывание "Сейчас холодно", то формула:
А → В v С, или со всеми скобками: (А → (В v С)),
представляет высказывание "Если сейчас день, то сейчас светло или холодно". Формула:
В & С → А, или ((В & С) → А),
представляет высказывание "Если сейчас светло и холодно, то сейчас день". Формула:
~ В → ~ А, или ((~ В) → (~ А)),
представляет высказывание "Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день" и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.
Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.
Таковы, в частности, формулы:
(А →), (& В), (A v ВС), (~ & ) и т.п.
Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В → ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо В подставить ложное высказывание, а вместо А – истинное.
Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, – это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.
Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в нее переменные.
Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается влажное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.
Покажем для примера что формула:
(А – В) → (~ В → ~ А)
является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно.
В результирующей колонке таблицы встречается только значение "истинно", т.е. формула является всегда истинной.
| А | В | А → В | ~ В | ~ А | ~ В → ~ А | (А → В) → (~ В → ~ А) |
| и | и | и | л | л | и | и |
| и | л | л | и | л | и | и |
| л | и | и | л | и | л | и |
| л | л | и | и | и | л | и |
Нетрудно убедиться, например, что формула:
(А & → А)
является всегда ложной, т.е. противоречием.
Множество тавтологий бесконечно.
Центральным понятием логики в целом и логики высказываний как ее части являются понятия логического закона и логического следования. Они могут быть определены через понятие тавтологии.
Логический закон логики высказываний – это тавтология данной логики. Иными словами, множество законов логики высказываний и множество ее тавтологий совпадают: каждый закон есть тавтология, и каждая тавтология есть закон. Это означает, что для установления того, является ли некоторая формула законом логики высказываний, достаточно с помощью таблиц истинности убедиться, является ли эта формула тавтологией. Логическим законом является, в частности, только что рассмотренная всегда истинна формула:
(А → В)(~ В → ~ А).
Таким образом, логический закон можно определить как выражение, содержащее только логические константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) области объектов.
В обычном языке слово "тавтология" означает повторение того, что уже было сказано: "Жизнь есть жизнь", "Театр – это театр" и т.п.
Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта, загромождающего речь и затрудняющего общение.
Иногда, однако, случается, что тавтология наполняется вдруг каким-то чужим содержанием. Попадая в определенный контекст, она как бы светит отраженным светом.
Один писатель сказал о своем герое: он дожил до самой смерти, а потом умер. Козьме Пруткову принадлежит афоризм: "Не будь цветов, все ходили бы в одноцветных одеяниях". Буквально говоря, это тавтология и пустота. Но на самом деле смысл здесь все-таки есть, хотя это и не собственный смысл данных фраз, а отражаемый или навеваемый ими смысл.
Слово "тавтология" широко используется для характеристики законов логики. В качестве логического термина оно получило строгие определения применительно к отдельным разделам логики.
В общем случае, логическая тавтология – это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь, или "всегда истинное выражение".
Все законы логики являются логическими тавтологиями. Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное высказывание.
Например, в формулу "А или не-А", представляющую логический закон, вместо переменной А должны подставляться высказывания. Результаты таких подстановок: "Дождь идет или не идет", "Два плюс два равно нулю или не равно нулю", "Пегас существует или его нет" и тому подобное. Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись, результат будет тем же – полученное высказывание будет истинным.
Из тавтологии "Дождь идет или не идет" мы ничего не можем узнать о погоде. Тавтология "Неверно, что Пегас есть и его нет" ровным счетом ничего не говорит о существовании Пегаса. Ни одна тавтология не несет содержательной информации о мире.
Тавтология не описывает никакого реального положения вещей. Она совместима с любым таким положением. Немыслима ситуация, сопоставлением с которой тавтологию можно было бы опровергнуть.
Эти специфические особенности тавтологий пытались истолковать как несомненное доказательство отсутствия какой-либо связи законов логики с действительностью. Законы логики представляют собой априорные, известные до всякого опыта истины. Они не являются бессмысленными, но вместе с тем не имеют и содержательного смысла. Их невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть ссылкой на опыт. Их функция – быть каркасом, строительными лесами нашего знания, указывать приемлемые преобразования выражений языка.
Идея об информационной пустоте логических законов является, однако, ошибочной. Ее сторонники крайне узко истолковывают опыт, способный подтверждать и опровергать научные утверждения и законы. Этот опыт сводится ими к фрагментарным, изолированным ситуациям или фактам. Последние достаточны для проверки истинности элементарных описательных утверждений типа "Идет дождь" или "Я иду быстро". Но они явно недостаточны для суждения об истинности абстрактных теоретических обобщений, опирающихся не на отдельные, разрозненные факты, а на совокупный, систематический опыт. Даже законы обычных наук нельзя обосновать простой ссылкой на факты и конкретику. Тем более это невозможно сделать в случае самых абстрактных из всех законов – законов логики. Они должны рассматриваться в своем генезисе и черпать свое обоснование из предельно широкого опыта мыслительной, теоретической деятельности. За законами логики стоит, конечно, опыт, и в этом они сходны со всеми иными научными законами. Но опыт не в форме каких-то изолированных, доступных наблюдению ситуаций, а конденсированный опыт всей истории человеческого познания.
Логические законы составляют основу человеческого мышления. Они определяют, когда из одних высказываний логически вытекают другие, и представляют собой тот невидимый железный каркас, на котором держится последовательное рассуждение и без которого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь. Без логического закона нельзя понять, что такое логическое следование, а тем самым – и что такое доказательство.
Правильное, или, как обычно говорят, логичное мышление – это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Отсюда понятна вся важность данных законов.
Логические законы объективны и не зависят от сознания и воли человека. Они не являются результатом соглашения между людьми, некоторой специальной или стихийно сложившейся конвенции. Они не являются и порождением некоего "мирового духа" или "абстрактной идеи", как полагали некоторые философы. Власть законов логики над человеком, их обязательная для правильного мышления сила обусловлена тем, что они есть отображение реального мира, многовекового опыта его познания и преобразования человеком.
Подобно всем иным научным законам, логические законы являются универсальными и необходимыми. Они действуют всегда и везде, распространяясь в равной мере на всех людей и на любые эпохи. Присущая этим законам необходимость в каком-то смысле даже более настоятельна и непреложна, чем природная, или физическая, необходимость. Невозможно даже представить, чтобы логически необходимое стало иным. Если что-то противоречит законам природы и является физически невозможным, то никакой инженер, при всей его одаренности, не сумеет реализовать это. Но если нечто противоречит законам логики и является логически невозможным, то не только инженер – даже бог не смог бы воплотить это в жизнь.
Логических законов бесконечно много, однако не все они в равной мере употребительны. Далее будут рассмотрены некоторые, наиболее простые и часто используемые из них.
Из всех логических законов самым известным является, без сомнения, закон противоречия. И вместе с тем в истории логики не было периода, когда бы этот закон не оспаривался и когда бы дискуссии вокруг него совершенно затихали.
Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания "Луна – спутник Земли" и "Луна не является спутником Земли", "Трава – зеленая" и "Неверно, что трава зеленая" и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом – это же самое отрицается.
Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-A (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.
Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.
Используя вместо высказываний буквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А. Неверно, например, что трава зеленая и не зеленая, что Луна – спутник Земли и не спутник Земли и т.п.
Закон противоречия выражается формулой:
~ (А & ~ А),
неверно, что А и не-А
Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях – отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости – отсюда другое распространенное имя – закон непротиворечия.
Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.
В этой версии закон звучит особенно убедительно. Истина и ложь – это две несовместимые характеристики высказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Тот, кто отрицает закон противоречия, должен признать, что одно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не соответствовать ему. Трудно понять, что означают в таком случае сами понятия истины и лжи.
Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.
Эта версия подчеркивает опасности, связанные с противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свой рассуждения или в свою теорию ложное высказывание. Тем самым он стирает границу между истиной и ложью, что, конечно же, недопустимо.
Закон противоречия был открыт Аристотелем, сформулировавшим его так: "...невозможно, чтобы противоречащие утверждения были вместе истинными...". Аристотель считал данный закон наиболее важным принципом не только мышления, но и самого бытия: "Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же смысле". Несколько раньше формулировка закона как принципа самого реального мира встречается у Платона: "Невозможно быть и не быть одним и тем же".
Закон противоречия на протяжении всей истории логики считался одним из наиболее очевидных принципов. Римский философ-стоик Эпиктет так обосновал его необходимость: "Я хотел бы быть рабом человека, не признающего закона противоречия. Он велел бы мне подать себе вина, я дал бы ему уксуса или еще чего похуже. Он возмутился бы, стал бы кричать, что я даю ему не то, что он просил. А я сказал бы ему: ты не признаешь ведь закона противоречия, стало быть, что вино, что уксус, что какая угодно гадость – все одно и то же. И необходимости ты не признаешь, стало быть, никто не в силах принудить тебя воспринимать уксус как что-то плохое, а вино как хорошее. Пей уксус как вино и будь доволен. Или так: хозяин велел побрить себя. Я отхватываю ему бритвой ухо или нос. Опять начинаются крики, но я повторил бы ему свои рассуждения. И все делал бы в таком роде, пока не принудил бы хозяина признать истину, что необходимость непреоборима и закон противоречия всевластен". Смысл этого эмоционального комментария к принудительной силе закона противоречия сводится к идее, известной еще Аристотелю: из противоречия можно вывести все, что угодно. Тот, кто допускает противоречие в своих рассуждениях, должен быть готов к тому, что из распоряжения побрить будет выведена команда отрезать нос и т.п. Поскольку из противоречивого высказывания логически следует любое высказывание, появление в какой-то теории противоречия ведет к ее разрушению. В ней становится доказуемым все, что угодно, истина смешивается с ложью. Ценность такой теории становится близкой нулю. В средние века активно обсуждался вопрос: подчиняется ли закону противоречия бог, могущество которого беспредельно? Большинство философов и теологов считало, что даже бог не может противоречить самому себе. В сущности, это означало, что бог не всевластен: выше его – законы логики и прежде всего закон, запрещающий противоречие.
К Аристотелю восходит традиция давать закону противоречия, как и ряду других логических законов, три разные интерпретации. В одном случае он истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях и их истинности: из двух противоречащих высказываний одно должно быть ложным. В другом случае этот же закон понимается как утверждение о структуре самого реального мира: не может быть так, чтобы что-то одновременно существовало и не существовало, имело какой-то признак и не имело его. В третьем случае этот закон звучит уже как истина психологии, касающаяся своеобразия нашего мышления: не удается размышлять о какой-либо вещи, таким образом, чтобы она оказывалась такой и вместе с тем не такой.
Иногда считается, что эти три варианта различаются между собой только словесно. На самом деле это не так. Устройство мира и своеобразие человеческого мышления – темы изучения эмпирических наук. Получаемые ими истины фактические, и значит, случайные. Принципы же логики совершенно иначе связаны с опытом и представляют собой логически необходимые истины. Допускаемое тремя указанными интерпретациями смешение теории бытия, психологии и логики, случайных и необходимых истин освящено долгой традицией, но лишено убедительных оснований.
Большинство неверных толкований закона противоречия и большая часть попыток оспорить его приложимость – если не во всех, то хотя бы в отдельных областях – связаны с неправильным пониманием логического отрицания, а значит, и противоречия.
Высказывание и его отрицание должны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении. Эти два высказывания должны совпадать во всем, кроме единственной черты: то, что утверждается в одном, отрицается в другом. Если это забывается, противоречия нет, поскольку нет утверждения и отрицания.
В романе Ф. Рабле "Гаргантюа и Пантагрюэль" один из героев спрашивает философа Труйогана, стоит жениться или нет. Труйоган отвечает довольно загадочно: и стоит, и не стоит. Казалось бы, явно противоречивый, а потому невыполнимый и бесполезный совет. Но постепенно выясняется, что никакого противоречия здесь нет. Сама по себе женитьба – дело неплохое. Но плохо, когда, женившись, человек теряет интерес ко всему остальному. Видимость противоречия связана здесь с лаконичностью ответа Труйогана. Если же пренебречь соображениями риторики и, лишив ответ загадочности, сформулировать его полностью, станет ясно, что он непротиворечив и, может быть, даже небесполезен.
В "Исторических материалах" Козьмы Пруткова нашел отражение такой эпизод: "Некий, весьма умный, XIV века ученый справедливо тогдашнему германскому императору заметил: "Отыскивая противоречия, нередко на мнимые наткнуться можно и в превеликие от того и схему достойные ошибки войти: не явное ли в том, ваше величество, покажется малоумному противоречие, что люди в теплую погоду обычно в холодное платье облачаются, а в холодную, насупротив того, завсегда теплое одевают?"... Сии, с достоинством произнесенные, ученого слова произвели на присутствующих должное действие, и ученому тому, до самой смерти его, всегда особливое внимание оказывали". Этот поучительный случай описывается под заголовком: "Наклонность противоречия нередко в ошибки ввести может". Применительно к обсуждаемой теме можно вывести такую "мораль": наклонность видеть логические противоречия там, где их нет, обязательно ведет к неверному истолкованию закона противоречия и попыткам ограничить его действие. Нет противоречия, например, в утверждении "Осень настала и еще не настала", подразумевающем, что хотя по календарю уже осень, а тепло как летом. Его нет и в том, что, как говорит статистика, замужних женщин заметно больше, чем женатых мужчин: при переписи анкета заполняется со слов самого опрашиваемого.
Появление противоречия в какой-то теории – явный симптом ее неблагополучия. Тем не менее ученые обычно не спешат расставаться с противоречивой теорией. Более того, они не всегда стремятся исключить противоречие сразу же, как только оно обнаружено. Чаще всего противоречие отграничивается от других положений, входящие в него утверждения проверяются и перепроверяются до тех пор, пока не будет выяснено, какое из них является ложным. В конце концов ложное утверждение отбрасывается, и теория становится непротиворечивой. Только после этого можно быть уверенным в ее будущем.
Никто, пожалуй, не утверждает прямолинейно, что дождь идет и не идет, что трава зеленая и одновременно не зеленая. А если и утверждает, то только в каком-то переносном смысле. Противоречие вкрадывается в рассуждения, как правило, в неявном виде.
Чаще всего противоречие довольно легко вскрыть.
В одном из рассказов М. Твена о возбужденных людях говорится, что каждый из них размахивал руками энергичнее, чем его сосед. Понятно, что это невозможно, поскольку внутренне противоречиво.
Противоречиво и сообщение, будто в глухом австралийском селении живут два близнеца, один из которых на 12 лет старше другого, как и сообщение, что родился один близнец нормального роста и веса. В начале века, когда автомобилей стало довольно много, в одном из английских графств было издано распоряжение, согласно которому если два автомобиля подъезжают одновременно к пересечению дорог под прямым углом, то каждый из них должен ждать, пока не проедет другой. Это распоряжение внутренне противоречиво, и потому невыполнимо. Какой-то любитель был взят в труппу на эпизодическую роль слуги. Желая хоть чуть-чуть увеличить свой текст, он произнес: – Сеньор, немой явился... и хочет с вами поговорить. Желая дать партнеру возможность поправить ошибку, актер ответил: – А вы уверены, что он немой? – Во всяком случае, он сам так говорит... Этот "говорящий немой" так же противоречив, как и "знаменитый разбойник, четвертованный на три неравные половины" или как "окружность со многими тупыми углами". Но даже такие простенькие противоречия иногда не различаются. Один тулузский врач, желая позабавиться, поместил в местной газете объявление: "В связи с выездом за границу продаю редкую историческую реликвию: череп Вольтера-ребенка". В течение недели он получил едва ли не сто запросов о цене. М.Твен рассказывает о беседе с репортером, явившимся взять у него интервью: – Есть ли у вас брат? – Да, мы звали его Билль. Бедный Билль! – Так он умер? – Мы никогда не могли узнать этого. Глубокая тайна парит над этим делом. Мы были – усопший и я – двумя близнецами и, имея две недели от роду, купались в одной лохани. Один из нас утонул в ней, но никогда не могли узнать, который. Одни думают, что Билль, другие – что я. – Странно, что вы-то, что вы об этом думаете? – Слушайте, я открою вам тайну, которой не поверял еще ни одной живой душе. Один из нас двоих имел особенный знак на левой руке, и это был я. Так вот, тот ребенок, что утонул... Понятно, что если бы утонул сам рассказчик, он не выяснял бы, кто же все-таки утонул: он сам или его брат. Противоречие прикрывается тем, что говорящий выражается так, как если бы он был неким третьим лицом, а не одним из близнецов. Открытое противоречие является стержнем и маленького рассказа Э.Липиньского: "Жан Марк Натюр, известный французский художник-портретист, долгое время не мог схватить сходство с португальским послом, которого как раз рисовал. Расстроенный неудачей, он уже собирался бросить работу, но перспектива высокого гонорара склонила его к дальнейшим попыткам добиться сходства. Когда портрет близился к завершению и сходство было уже почти достигнуто, португальский посол покинул Францию, и портрет остался с несхваченным сходством. Натюр продал его очень выгодно, но с этого времени решил сначала схватывать сходство и только потом приступать к написанию портрета". Уловить сходство несуществующего еще портрета с оригиналом так же невозможно, как написать портрет, не написав его. В комедии Козьмы Пруткова "Фантазия", вызвавшей когда-то недовольство царского двора, некто Беспардонный намеревается продать "портрет одного знаменитого незнакомца: очень похож..." Здесь ситуация обратная: если оригинал неизвестен, о портрете нельзя сказать, что он похож. Кроме того, о совершенно неизвестном человеке нелепо утверждать, что он знаменит.
Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когда оно смешивает истину с ложью. Но, как очевидно уже из приведенных примеров, у противоречия в обычном языке много разных задач.
Оно может выступать в качестве основы сюжета какого-то рассказа, быть средством достижения особой художественной выразительности и т.д.
Если противоречие может сделаться "каналом духовной связи", оно не только допустимо, но даже необходимо.
Реальное мышление – и тем более художественное мышление – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и ясность, и неясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и чувственный образ. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно стоит на своем месте.
Нелогично утверждать и отрицать одновременно одно и то же. Но каждому хорошо понятно двустишие римского поэта I в. до н.э. Катулла:
Да! Ненавижу и вместе люблю. – Как возможно, ты спросишь?
Не объясню я. Но так чувствую, смертно томясь.
"...Все мы полны противоречий. Каждый из нас – просто случайная мешанина несовместимых качеств. Учебник логики скажет вам, что абсурдно утверждать, будто желтый цвет имеет цилиндрическую форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смеси абсурдов, которая составляет человеческое "я", желтый цвет вполне может оказаться лошадью с тележкой, а благодарность – серединой будущей недели". Этот отрывок из романа С. Моэма "Луна и грош" выразительно подчеркивает сложность, а нередко и прямую противоречивость душевной жизни человека. "...Человек знает, что хорошо, но делает то, что плохо", – с горечью замечал Сократ.
Вывод из сказанного, как будто, ясен. Настаивая на исключении логических противоречий, не следует, однако, всякий раз "поверять алгеброй гармонию" и пытаться втиснуть все многообразие противоречий в прокрустово ложе логики.
Логические противоречия недопустимы в науке, но установить, что конкретная теория не содержит их, непросто: то, что в процессе развития и развертывания теории не выведено никаких противоречий, еще не означает, что их в самом деле нет. Научная теория – очень сложная система утверждений. Далеко не всегда противоречие удается обнаружить относительно быстро путем последовательного выведения следствий из ее положений.
Вопрос о непротиворечивости становится яснее, когда теория допускает аксиоматическую формулировку, подобно геометрии Евклида или механике Ньютона. Для большинства аксиоматизированных теорий непротиворечивость доказывается без особого труда.
Есть однако теория, в случае которой десятилетия упорнейших усилий не дали ответа на вопрос, является она непротиворечивой или нет. Это – математическая теория множеств, лежащая в основе всей математики. Немецкий математик Г.Вейль заметил по этому поводу с грустным юмором: "Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем".
Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.
Символически:
A v ~ A,
А или не-А. Например: "Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году", "Личинки мух имеют голову или не имеют ее" и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.
Как выразил эту мысль Аристотель: "...Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать".
Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает' или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет ее и т.п. – других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива или противоречива.
Этот закон с иронией обыгрывается в художественной литературе. Причина иронии понятна: сказать "Нечто есть или его нет", значит, ровным счетом ничего не сказать, и смешно, если кто-то этого не знает.
В "Мещанине во дворянстве" Ж.-Б.Мольера есть такой диалог:
Г-н Журден. ...А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам. Учитель философии. Конечно, вы хотите написать ей стихи? Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи. Учитель философии. Вы предпочитаете прозу? Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов. Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое. Г-н Журден. Почему? Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами. Г-н Журден. Не иначе, как прозой или стихами? Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.
В известной сказке Л.Кэролла Белый Рыцарь намерен спеть Алисе "очень, очень красивую песню":
– Когда я ее пою, все рыдают... или... – Или что? – спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился. – Или... не рыдают...
В другой популярной сказке народный лекарь Богомол заключает после осмотра Буратино:
– Одно из двух: или пациент жив, или он умер. Если он жив – он останется жив или не останется жив. Если он мертв – его можно оживать или нельзя оживить.
Это напоминает ситуацию из старой песенки, в которой тоже используется идея исключительного третьего:
Жила одна старушка,
Вязала кружева,
И, если не скончалась –
Она еще жива.
Закон исключенного третьего кажется самоочевидным. Тем не менее высказывались предложения отказаться от него или ограничить его действие применительно к определенным высказываниям.
В частности, Аристотель сомневался в приложимости этого закона к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. "Через сто лет в этот же день будет идти дождь" – это высказывание сейчас, скорее всего, ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Но закон исключенного третьего утверждает, что или само высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключает Аристотель, хотя и без особой уверенности, данный закон следует ограничить одними высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем.
Немецкий философ Гегель весьма иронично отзывался как о законе противоречия, так и о законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: дух является зеленым или не является зеленым, и задавал каверзный, как ему казалось, вопрос: какое из этих двух утверждений истинно?
Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: "Дух – зеленый" и "Дух – не зеленый" не является истинным, поскольку оба они бессмысленные. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.
Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. В начале этого века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и прежде всего – закона исключенного третьего. Первая статья не превышала трех страниц, вторая – четырех, а вместе они не занимали и семнадцати страниц. Но впечатление, произведенное ими, было чрезвычайно сильным.
Брауэр был убежден, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключенного третьего, он настаивал на том, что кроме утверждения и его отрицания имеется еще третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.
Допустим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все объекты. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно: "В данном множестве есть объект с указанным свойством" или же "В этом множестве нет такого объекта". Закон исключенного третьего здесь справедлив.
Но когда множество бесконечно, объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.
Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике. Это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков, особенно старшего поколения. "Изъять из математики принцип исключенного третьего, – заявлял немецкий математик Д. Гильберт, – все равно, что запретить боксеру пользоваться кулаками.
Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике – так называемой интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.
С законом исключенного третьего косвенно связан следующий методологический принцип: анализ каждого объекта должен вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно любого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет. Это требование полноты и всесторонности исследования не относится, конечно, к законам логики. Оно полезно, но нередко оказывается невыполнимым. В случае рассуждений о бесконечных и неопределенных совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих состояниях и т.п. изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нем удалось ответить однозначно "да" или "нет".
Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически:
А → А,
если А, то А. Например: "Если дом высокий, то он высокий", "Если трава черная, то она черная" и т.п.
В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается отмечавшаяся ранее общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, "предметной" информации. Это – общие схемы, отличительная особенность которых в том, что подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные, так и ложные), мы обязательно получим истинное выражение.
Закон тождества нередко ошибочно подменяется требованием устойчивости, определенности мышления. Действительно, в процессе рассуждения значения понятий и утверждений не следует изменять. Они должны оставаться тождественными самим себе, иначе свойства одного объекта незаметно окажутся приписанными совершенно другому. Если мы начали говорить, допустим, о спутниках как небесных телах, то слово "спутник" должно, пока мы обсуждаем эту тему, обозначать именно такие тела, а не каких-то иных спутников. Требование не изменять и не подменять значения слов в ходе рассуждения, конечно, справедливо. Но, очевидно, что оно не является законом логики. Точно так же, как не относится к ним совет выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам, чтобы уменьшить вероятность подмены в рассуждении одного объекта другим.
Иногда закон тождества неверно истолковывается как один из законов бытия, говорящий о его относительной устойчивости и определенности. Понятый так, он превращается в утверждение, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Такое понимание этого закона, конечно, ошибочно. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она такой же и остается.
Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: "Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна".
Закон двойного отрицания был известен еще в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.
В символической форме закон записывается так:
~~ А → А,
если неверно, что не-А, то верно А.
Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: "Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты".
Символически:
A → ~~ A
если А, то неверно что не-А.
Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:
~~ А ↔ А,
неверно, что не-А, если и только если верно А.
Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания "если есть первое, то есть второе" вытекает "если нет второго, то нет и первого", и наоборот.
Символически:
(А → В) → (~ В → ~ А),
если дело обстоит так, что если А, то В, то если не-В, то не-А;
(~ В → ~ А) → (А → В),
если дело обстоит так, что если не-В, то не-А, то если А, то В.
К примеру: из высказывания "Если есть следствие, то есть и причина" следует высказывание "Если нет причины, нет и следствия", и из второго высказывания вытекает первое.
К законам контрапозиции обычно относят также законы:
(А → ~ В) → (В → ~ А),
если дело обстоит так, что если А, то не-B, то если В, то не-А Например, "Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат";
(~ А → В) → (~ В → А),
если верно, что если не-А, то В, то если не-B то А. К примеру: "Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно".
Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редкое наше рассуждение обходится без контрапозиции.
Слово "модус" в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. "Модус поненс" – термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.
Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого
Если А, то В; А
В
Здесь "если А, то B" и "А" – посылки, "B" – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись:
Если А, то B. А. Следовательно, В.
Благодаря этому правилу от посылки "если А, то В", используя посылку "А", мы как бы отделяем заключение "B". Например:
Если у человека грипп, он болен.
У человека грипп.
Человек болен.
Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом еще в III в. до н.э.
Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:
(А → В) & А → В,
если верно, что если А, то В, и А, то верно В. Например: "Если при дожде трава растет быстрее и идет дождь, то трава растет быстрее".
Рассуждение по правилу модус понес идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.
Например, правильным является умозаключение:
Если висмут – металл, он проводит электрический ток.
Висмут – металл.
Висмут проводит электрический ток.
Но внешне сходное с ним умозаключение:
Если висмут – металл, он проводит электрический ток.
Висмут проводит электрический ток.
Висмут металл.
логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению. Например:
Если человек собирает марки, он коллекционер.
Человек – коллекционер.
Человек собирает марки.
Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.
Против смешения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.
Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:
Если А, то B; неверно В.
Неверно А.
Другая запись:
Если А, то В. Не-B. Следовательно, не-A.
Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:
Если гелий – металл, он электропроводен.
Гелий неэлектропроводен.
Гелий – не металл.
Этим именем средневековые логики обозначали следующие схемы рассуждения:
| Либо А, либо В; А Неверно В |
Либо А, либо В; В Неверно А |
Другая запись:
Либо А, либо В. А. Следовательно, не-B.
Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.
Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.
Он родился в Москве.
Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.
Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:
На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе был Амундсен.
Неверно, что там был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно, Правильным является умозаключение:
На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был Амундсен.
Неверно, что там первым был Скотт.
Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:
А или В; неверно А
В
Или:
А или В; неверно В
А
Другая форма записи:
А или В. Не-А Следовательно, В.
А или В. Не-В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным или оно бесконечно.
Множество не является конечным.
Множество бесконечно.
Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.
С использованием логической символики умозаключение формулируется так:
A v B, ~ A
В
Или:
A v В, ~ В
А
В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:
(A v B) & ~ A → B,
если А или В и ~ А, то В.
Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом "и" к утверждениям с союзом "или", и наоборот:
~ (A & B) → (~ A v ~ В),
если неверно, что есть и первое, и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;
( ~ A v ~ В) → ~ (А & В),
если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Используя эти законы, от высказывания "Неверно, что изучение логики и трудно, и бесполезно" можно перейти к высказыванию "Изучение логики не является трудным, или же оно не бесполезно". Объединение этих двух законов дает закон (↔ – эквивалентность, "если и только если"):
~(A & B) ↔ (~ A v ~ B).
Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: "Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо".
Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:
~ (A v В) ↔ ( ~ А & ~ В),
неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: "Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии". На основе законов де Моргана связку "и" можно определить, используя отрицание, через "или", и наоборот:
К примеру: "Идет дождь и идет снег" означает "Неверно, что нет дождя или нет снега"" "Сегодня холодно или сыро" означает "Неверно, что сегодня не холодно и не сыро".
Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания "Треугольник – это окружность" вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание "Треугольник не является окружностью".
Закон приведения к абсурду представляется формулой:
(А → В) & (А → ~ В) → ~ А,
если (если А, то В) и (если А, то не-B), то не-А
Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что в конце концов приводит к явному абсурду.
Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:
(А → ~ А) → ~ А,
если (если А, то не-A), то не-А. Например, из положения "Всякое правило имеет исключения", которое само является правилом, вытекает высказывание "Есть правила, не имеющие исключений"" значит, последнее высказывание истинно.
Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Например: "Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число".
Символически закон косвенного доказательства записывается так:
(~ А → В) & (~ А → ~ В) → А,
если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.
Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:
(~ А → (В & ~ В)) → А,
если (если не-А, то В и не-B), то А. К примеру: "Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число".
Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Или иначе: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.
Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к "Геометрии" Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.
Символически закон Клавия представляется формулой:
(~ А → А) → А,
если не-А имплицирует А, то верно А.
Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А Например, нужно доказать утверждение "У трапеции четыре стороны". Отрицание этого утверждения: "Неверно, что у трапеции четыре стороны". Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.
Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последний утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения "Каждое высказывание истинно" вытекает истинность и его отрицания: "Не все высказывания истинны". И значит, это отрицание, а не положение Протагора, на самом деле истинно.
Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.
К закону Клавия близок по своей структуре уже упоминавшийся логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем закон Клавия, представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению.
Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: "Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека". Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.
Символически данный закон представляется формулой:
((А → В) & (В → C) → (А → С),
если (если А, то В) и (если В, то C), то (если А, то C).
Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью "и", "или" и др.
Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:
(а + в) + с = а + (в + с),
(а × в)
× с = а × (в × с).
Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:
(A v B) v C ↔ A v (B v
C),
(A & B) & C ↔ A &
(B & C).
В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.
Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные "и", "или", "если и только если" и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др.,
по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения – от порядка слагаемых и т.д.
Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:
(А & В) ↔ (В & А),
А и В тогда и только тогда, когда В и А;
(A v В) ↔ (В v А),
А или В, если и только если В или A.
Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: "Волга – самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе"" "Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь".
Существуют важные различия между употреблением слов "и" и "или" в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное "и" употребляется при перечислении, а обычное "или" предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения "и" и "или" упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. "И" и "или" в логике коммутативны. Но "и" обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение "Он сломал ногу и попал в больницу" очевидно не равносильно высказыванию "Он попал в больницу и сломал ногу".
Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.
Известен анекдот об английском философе и логике Б.Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел – римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скотта.
Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел – два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел – это одно и то же лицо.
Приведенные формулировки законов логики и примеров к этим законам являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идет о самых простых по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в передаче законов.
Мало сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще могут быть адекватно переданы на этом языке.
Не случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с ними понятий специальный язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и легкости общения.
Основная задача логики – систематизация правил, позволяющих из имеющихся утверждений выводить новые.
Возможность получения одних идей в качестве логических следствий других лежит в фундаменте любой науки. Это делает проблему адекватного описания логического следования одной из наиболее важных проблем не только логики, но и философии науки.
Логическое следование – это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, которую нередко характеризуют как науку о том, "что из чего следует".
Будучи исходным, понятие логического следования не допускает точного определения. В частности, описание его с помощью слов "видимо", "вытекает" и т.п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова "следует". Понятие следования обычно характеризуется путем указания его связей с другими логическими понятиями, и прежде всего с понятиями логического закона и модели.
Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация "если А, то В" является частным случаем закона логики.
Например, из высказывания "Если натрий металл, он пластичен" логически вытекает высказывание "Если натрий не пластичен, он не металл", поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием второе, представляет собой частный случай логического закона контрапозиции.
Иное, семантическое определение логического следования: из посылок А1, ..., Аn логически следует высказывание В, если не может быть так, что высказывания А1,..., Аn истинны, а высказывание В – ложно, (т.е. если В истинно в любой модели, в которой истинны A1,..., Аn ).
Отличительной чертой логического следования является таким образом, то, что оно ведет от истинных высказываний только к истинным. Предъявление к нему требования не позволять получать ложные заключения из истинных посылок объясняется теоретико-познавательными соображениями. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между высказываниями отношения логического следования потеряло бы смысл, и логический вывод превратился бы из формы разворачивания и конкретизации знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.
Теории логического следования не содержат правил, позволяющих перейти от истинных посылок к ложному заключению. Они удовлетворяют, кроме того, ряду дополнительных условий. Выдвижение этих условий объясняется стремлением дать такое описание логического следования, при котором существование между высказываниями этого отношения зависело бы не только от истинностного значения высказываний, но и от их смысловой связи. Поскольку "связь по смыслу" понимается по-разному, существуют различные теории логического следования. Ими решена задача исключения нежелательных, или парадоксальных, правил следования, подобных закону Дунса Скотта, и показано, что нет привилегированной логической системы, являющейся единственно правильным описанием логического следования.
Логика высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний. Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.
Логика предикатов – основной раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.
Логика предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.
Предикат – это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, "быть зеленым", называется одноместным. Предикат, обозначающий отношение, называется двухместным, трехместным и т.д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, "любит" – двухместный предикат, "находится между" – трехместный.
В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Например, выражение "...есть зеленый" (или "х есть зеленый") является функцией от одной переменной, "... любит... " ("х любит у") – функция от двух переменных и т.д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имен вместо переменных.
В логике предикатов – в дополнение к средствам
логики высказываний – вводятся логические операторы
("для всех") и
("для некоторых", или "существует"), называемые
кванторами общности и существования
соответственно. Для выявления субъектно-предикатной
структуры высказываний вводится бесконечный перечень
индивидных переменных: х, у, z, ..., х1,
у1, z1,..., представляющих
различные объекты, и бесконечный перечень предикатных
переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Ql,
R1, ..., представляющих свойства и отношения
объектов. Индивидные переменные принимают значения в
произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными
могут вводиться индивидные константы, или имена собственные.
Запись (x) Р(х)
означает "Всякий х обладает свойством Р",
(х) Р(х) –
"Некоторые х обладают свойством Р",
(x)
Q(x, у) – "Существует х,
находящийся в отношении Q с у" и т.п.
Формула логики предикатов называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного смысла входящим в нее символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.