ОГЛАВЛЕHИЕ
>>>
§57. Восходящими ступенями в деле выявления количественной определённости предметного мира являются:
Они соответствуют уже рассмотренным ступеням качества:
чистое количество – чистому бытию,
определённое количество – наличному бытию,
количественные отношения – для-себя-бытию.
Чистое количество
§58. Категория чистого количества, как и категория чистого бытия, непосредственно не содержит в себе ещё никакого различия. Подобно тому, как на ступени чистого бытия для нас не было ещё ни нечто, ни иного, так и здесь на ступени чистого количества для нас нет ещё никаких количественных различий. Но уже на ступени становления мы наблюдаем мелькание (в кадре) каких-то образов, которые то возникают перед нашим взором, то пропадают в неразличимости чистого бытия, переходящего в ничто. И лишь на ступени наличного бытия мы начинаем отличать нечто от иного и тем самым получаем тот мыслительный материал, дальнейшая работа с которым позволяет нам вывести всю систему определений качества.
§59. С точки зрения количественной определённости такое мелькание образов предметов, которое мы наблюдаем при переходе от чистого бытия к ничто, говорит нам о том, что наличное бытие сколь прерывно (дискретно) в себе, столь и непрерывно. Оба определения едины в своей противоположности: то, что непрерывно, столь же и дискретно, а то, что дискретно, столь же непрерывно. Следовательно, чистое количество распадается в себе на определения непрерывности и дискретности.
Так, например, если рассматривать человечество как само по себе взятое, то оно предстанет перед нами как непрерывность (как единство). Но если рассматривать его в самом себе, то оно обнаруживает свою дискретность. Мы знаем, что человечество сегодня насчитывает более 6 млрд человек. Но это знание говорит нам здесь лишь о том, что плоть человечества прерывиста в себе, и не более того. Точно так же и биосфера, рассматриваемая в целом, выступает в своей непрерывности. А рассматриваемая в самой себе, она обнаруживает свою прерывность (дискретность), ибо она представляет собой множество живых организмов. И точно так же обстоит дело с Вселенной, которая также сколь непрерывна, столь и дискретна в своей непрерывности.
Положительное единство прерывности (дискретности) и непрерывности (единства) проявляется через наличие границы. Нахождение границы между нечто и иным превращает чистое количество в определённое количество.
Определённое количество
§60. Одно нечто, взятое в пределах своих границ, представляет собой единицу. Другое нечто – другую единицу. Следующее нечто – третью единицу. Четвёртое, пятое, шестое нечто и т.д. – все суть единицы. Их бесконечный ряд представляет собой множество. Если определения одно и многое принадлежат ещё сфере качества, то определения единица и множество принадлежат уже сфере количества: единица, единица, ед., ед., .., ..., ...., ....., ......, множество.
Некоторое множество единиц, исключающее из себя все прочие единицы, является ограниченным количеством.
§61. Ограниченное количество получает свою конкретность через его числовое обозначение. Благодаря числу оно становится определённым количеством, или величиной.
Числа создаются посредством действия нумерации. К одной единице добавляется ещё одна единица и в итоге получается число "два". К двойке добавляется ещё одна единица и получается число "три". В дальнейшем к полученному числу всякий раз добавляют ещё одну единицу и в результате получают следующее по порядку число. При этом действие нумерации не следует смешивать с действием сложения. При нумерации только производят числа, тогда как при сложении работают с уже готовыми числами.
§62. Величины несут в себе единство дискретности и непрерывности. Как дискретность они содержат в себе некоторое множество объединяемых ими единиц, а как непрерывность они выступают как их монолитное единство, как квант.
Число выражает собой оба момента: а) численность заключённых в величине единиц и б) их единство, в котором величина выступает как квант. В русском языке такое различное значение числа находит своё выражение в том, что когда число используют для определения численности, то в этом случае его называют количественным числительным (два, пять, семь), когда же число используют для выражения единства (как квант), тогда говорят о собирательном числительном (двое, пятеро, семеро).
Например, во время проведения каких-либо коллективных мероприятий типа субботника группа людей может шутливо заметить, что их "сосчитали". Казалось бы, всего-то дел, что кого-то сосчитали, но уже самим этим действием "сосчитанных" людей как бы обособили от остальной массы (множества) и выделили в отдельную группу. При этом сосчитанная группа людей несёт на себе оба определения числа: а) она есть количественно обособленный квант, и б) она имеет в себе определённую численность.
Представим себе такой ряд простых чисел, начинающийся с единицы и восходящий к множеству: 1, 2, 3, .., 9, .., 81, .., 100, 1 тыс., 1 млн, 1 млрд, .., множество
С левого края этого ряда мы имеем единицу, с правого края – множество. Величина всегда занимает среднее положение между ними. С левой стороны от неё находится то количество единиц, которое она объединяет собой и обособляет от множества. С правой стороны находится то множество, из которого она была взята и которому она, тем не менее, принадлежит как квант. Если мы возьмём величину, определённую числом 9, то занимаемое ею с левой стороны ряда девятое место говорит о количестве единиц, которые она объединяет в себе. Если, наоборот, мы пойдём вправо от неё, то будем углубляться в то множество, которому она принадлежит как квант. Например, число 63 является показателем того множества, в котором число 9, взятое как квант, числится (содержится) 7 раз.
§63. Понятие числа включает в себя, следовательно, три определения:
Из соотношения данных определений числа вытекает логическое основание всех трёх математических действий:
Поскольку каждое число выражает собой конкретное количество единиц, постольку все числа отличны друг от друга. Их различие состоит в том, что они не равны друг другу. Определённость каждого числа, собственно, только в том и состоит, что оно на какое-то количество единиц больше одних чисел и на какое-то количество единиц меньше других чисел. Коль скоро числа не равны друг другу, то, следовательно, они подлежат сравнению. Только через сравнение может быть установлено значение того или иного числа, ибо никакой другой определенности, кроме количественной, у чисел нет. Само сравнение чисел производится в форме действий сложения и вычитания. Например: число пять больше числа три на две единицы и меньше числа восемь на три единицы.
§64. В силу того, что числа не содержат в себе никакой качественной определённости, они являются тождественными друг другу. Все они состоят из простых единиц. "Мы с тобой одной крови!" – говорили герои Киплинга. То же самое могли бы сказать о себе и все числа, поскольку они не несут в себе никаких качественных характеристик и отличаются друг от друга только количеством заключённых в них единиц. Поэтому любые два числа могут быть соединены друг с другом в противоположности своих функций. Одно из них выступает при этом как квант, другое – как численность. Их соединение даёт действие умножения, при котором числа выступают как сомножители. Результатом становится третье число – совместно произведённое ими множество. Нахождение числового показателя таких множеств (произведений) и составляет суть действий умножения и деления.
Например, в полученном произведении 63 число 7, принимаемое за квант, числится 9 раз. Но можно сказать и наоборот, что квант, выражаемый числом 9, числится здесь 7 раз. Поскольку чисел существует множество, постольку можно составить бесконечное множество их парных комбинаций, в результате перемножения которых мы получим бесконечное множество множеств (их произведений).
§65. Третий вид арифметических действий заключается в приведении к единству противоположных определений какого-либо одного конкретного числа. При этом данное число перемножается само на себя, где в качестве первого сомножителя оно выступает как квант, а в качестве второго сомножителя – как численность. Таковым является действие по возведению в степень и, соответственно, по извлечению корня.
При сложении и при умножении мы имеем дело с несколькими различными числами. Так, например, число 9 выражает то количество, которое больше 8, но меньше 10. Переход к числу 8 даёт уменьшение, а переход к числу 10, наоборот, увеличение. При действии умножения число 9 выступает как один из сомножителей, где другим сомножителем может быть только любое другое число. При этом одно число выступает как квант, а другое как численность, либо наоборот.
При возведении в степень мы имеем дело уже только с одним числом: его численностью и его квантностью. Так, например, если мы будем возводить в квадрат число 9, то для этого мы умножим его само на себя: 9 х 9 (квант помножим на его численность) и получим число 81. Если произведём обратное действие – извлечём корень квадратный из 81, то получим квант и численность, равные по своему значению. И т.д. в обе стороны. При этом важно обратить внимание на то, что действие по возведению в степень (извлечению корня) показывает нам, что одно число способно самостоятельно увеличивать и уменьшать само себя, исходя только из арсенала своих собственных определений (численности и кванта).
§66. Простейшей степенью является вторая (квадрат). Все остальные степени (4-я, 6-я, 8-я, и т.д.) выводятся путём увеличения кратности перемножения определений числа (численности и кванта) друг на друга. При этом все нечётные степени (3-я, 5-я, 7-я, и т.д.) следует рассматривать как неполные, поскольку они представляют собой ещё незавершённое действие по возведению в степень. Например, при возведении числа 3 в третью степень (в куб) мы его численность умножаем на его квант (3х3) и полученную сумму умножаем ещё раз, но либо уже только на численность, либо только на квант. Тем самым действие возведения в степень осталось незавершенным, поскольку оно предполагает необходимость перемножения численности и квантности числа друг на друга.
Оборвать действие перемножения на нечётной степени – это всё равно, что вывести в финал футбольного турнира только одну команду. И если при математических расчётах всё же фигурируют нечётные степени, то во избежание недоразумений надо помнить о том, что, согласно понятию числа, все нечётные степени должны быть в итоге приведены к чётным, и к квадрату в частности. Тогда не будет возникать таких проблем, как, например, корень квадратный из минус единицы, решение которой заключено в ответе на вопрос: как она туда попала?
Характерен в этом отношении такой пример проявления логической интуиции в нашей повседневной жизни. Здравствующим людям принято дарить нечётное (открытое) количество цветов, тогда как умершим кладут их чётное (закрытое) число.
Так как указанными арифметическими действиями исчерпывается вся полнота соотношения определений понятия числа (численности и кванта), то каких-либо других действий, кроме этих трёх, быть более не должно. Все другие математические операции являются производными от этих трёх.
§67. Одна и та же величина может рассматриваться: а) как экстенсивная величина и б) как интенсивная величина. Эти определения отличаются между собой тем, что экстенсивная определённость величины имеет свою численность вовне себя, а интенсивная определённость величины – внутри себя.
Так, например, если в одно прекрасное летнее утро мы выйдем к бескрайнему пшеничному полю и попытаемся определить, сколько же всего на нём зреет зёрен, то мы начнём свой счёт с одного зерна. Посчитаем: сколько зёрен находится в одном колоске, сколько колосков приходится на один квадратный метр, сколько – на один гектар, сколько – на всё это поле и сколько – на все посевы пшеницы по стране в целом. Это нам послужит примером экстенсивной величины.
Если же весной текущего года мы высадим одно зерно пшеницы, то к осени мы получим один колос, содержащий 20-30 зёрен. Если все эти зёрна высадить на следующий год, то мы получим урожай в 600-700 зёрен. Из этого количества семенного материала на третий год мы получим 15000-17000 зёрен и т.д., вплоть до достижения необходимой величины урожая пшеницы для потребностей всего населения страны. Это пример интенсивной величины.
Аналогичную картину мы сможем наблюдать и в том случае, если подвергнем исчислению количественные параметры самого человечества. Сосчитывая численность человечества в актуальном плане, мы получим последовательность нарастания его экстенсивной определённости: "Я" – один такой в этом мире, в семье нас – 4, в городе – 1,3 млн, в области – 3,5 млн, в стране – 150 млн, в мире – более 6 млрд человек. Рассматривая динамику численности человечества в историческом плане, мы увидим последовательность нарастания его интенсивной величины. 40 тыс. лет назад, на момент появления современной формы человека разумного, число людей предположительно составляло от 1 до 2 млн человек. Спустя 30 тыс. лет на планете проживало уже от 3 до 4 млн человек. К началу нашей эры – около 250 млн. В настоящее время численность человечества превышает 6 млрд человек.
§68. Экстенсивная и интенсивная определённость величины неотделимы друг от друга. Интенсивная величина в снятом виде несёт в себе экстенсивную, а экстенсивная величина – интенсивную. Их единство даёт нам определение порядка величины (Grad). Так, например, при математических расчётах говорят о величинах разного порядка: единицах, десятках, сотнях, тысячах и т.д. Если же речь заходит о возможных боевых действиях, то говорят, что мы располагаем силами такого-то порядка: взвод, рота, полк, дивизия и т.д. Если оформляют кредит в банке, то выясняют, какого порядка требуется сумма: тысяча рублей, сто тысяч, миллион,:
На первый взгляд может показаться, что определение порядка присуще только интенсивной определённости величины, поскольку она имеет свою численность внутри себя и отражает собой её абсолютный прирост: одно лето – один колос, другое лето – 20-30 колосков, третье дето – 625 колосков и т.д. Экстенсивная определённость в этом смысле менее наглядна, поскольку она имеет свою численность вовне себя и выражает собой лишь её относительное нарастание в пределах уже существующих границ: одно зерно, 1 колос, 1 кв. м колосков, 1 гектар посевов и т.д. Но поскольку интенсивная величина содержит в себе свою экстенсивную определённость, постольку определение порядка в равной степени присуще им обоим.
Наглядным примером здесь могут служить те жизненные ситуации, когда речь заходит о необходимости восстановления численности поголовья скота или объёма сбора зерновых, если, конечно, это восстановление предполагается вести на собственной основе, а не за счёт поставок из-за границы. В таких ситуациях целью является достижение необходимого порядка (уровня) экстенсивно определённой величины, но расчёт сроков её достижения ведётся, исходя из порядка её интенсивного нарастания.
В русскоязычных изданиях работ Гегеля при переводе слова Grad использован более точный по звучанию, но менее удачный по смыслу термин – градус. При таком варианте перевода следовало бы тогда говорить не о градусе, а о градации величины в смысле её порядка.
Также неправильно употреблять здесь термин степень, как это было сделано при переводе книги Куно Фишера "Гегель: жизнь, сочинения, учение", М.-Л., 1933 г. Математическая степень соответствует в немецком языке слову Potenz.
§69. Единство интенсивной и экстенсивной определённости величины, которое мы обнаруживаем через показатель её порядка, указывает нам на то, что данное определённое количество (данная величина) представляет собой нечто обособленное и замкнутое на самоё себя. Иначе говоря, если величина определена экстенсивно и интенсивно, то это показывает, что она несёт в себе некоторое качество заключённых в ней единиц. Это качество здесь ещё не определено, но его наличие уже предполагается. Например, когда мы определяем количественные параметры человечества, то при этом мы всё же находимся в границах его качества. Это качество ещё не рассматривается нами, но его данность уже предполагается.
Когда мы восходим к определению порядка, то тем самым мы уже предполагаем, что величины различаются между собой не только по своему числовому показателю, но и по своей качественной определённости, по качественному составу заключённых в них единиц. В этом, собственно, и состоит отличие арифметики от алгебры. В арифметике мы имеем дело только с чистыми числами, не содержащими в себе никакой качественной определённости. Например: 5, 10, 17, 22 – эти цифры пусты с точки зрения их качественного наполнения. Поэтому все арифметические действия, производимые с чистыми числами, не имеют никаких внутренних ограничений. Все числа можно как угодно складывать друг с другом и перемножать.
Иначе обстоит дело с величинами, с которыми работает алгебра. В них уже подразумевается наличие некоторой качественной определённости. Величина X может обозначать деревья, величина Y – автомобили, а величина Z – книги. Поскольку их качественное наполнение различно, постольку произвольно складывать и перемножать их между собой уже нельзя, ибо они выражают различный материал.
§70. Однако такие величины могут находиться в определённом количественном соотношении друг с другом. Например: козе на день требуется определённое количество сена, к пальто пришивается определённое количество пуговиц, ученику на год необходимо конкретное число тетрадей, и т.д. Хотя основанием для отношения таких величин выступает реальная связь определяемых ими предметов, сам показатель их соотношения имеет ещё количественный характер.
Количественные отношения
Существует три вида количественных отношений, обусловливаемых реальными связями предметов окружающего нас мира:
§71. Прямое отношение. Показатели двух разнокачественных величин, взаимно обусловливающих существование друг друга, могут находиться в прямо пропорциональном отношении друг к другу. При таком соотношении увеличение показателя одной величины влечёт за собой пропорциональное увеличение показателя другой величины, а в случае его уменьшения – соответствующее сокращение другой величины. Так, например, для обеспечения продовольствием 1 человека на год требуется собрать не менее 500 кг зерновых культур. Для 10 человек, соответственно, потребуется 5 тонн, для 1000 человек – 500 тонн, для 1.000.000 человек – 500.000 тонн, а для всего населения России (150.000.000 чел.) – 75.000.000 тонн. Соответственно, при дальнейшем росте численности населения страны потребуется в такой же пропорции наращивать объёмы производства зерновых культур, а при уменьшении – сокращать.
Прямо пропорциональное отношение величин представляет собой, таким образом, дробь. Одна величина выступает при этом как квант, а другая как численность этого кванта. Значение самих величин изменяется, а показатель их соотношения остаётся постоянным. В нашем примере квант числового показателя – 1 чел., а его численность – 500 кг зерна. Сам числовой показатель данного количественного отношения будет выглядеть так: 1 : 500 (если в килограммах) или 1 : 0,5 (если в тоннах).
Прямое отношение позволяет нам находить предельное значение величин. В нашем примере верхним пределом значения соотносящихся величин является: а) реальная численность населения России – 150.000.000 человек и б) величина сбора зерновых культур по всей стране – 75.000.000 тонн. Нижним же пределом, соответственно, является: а) 1 человек и б) 500 кг зерна.
§72. Обратное отношение. Определив через прямое отношение предельное числовое значение величин, мы получаем возможность рассмотреть каждую из них отдельно. Причём данное числовое значение величины является внешней границей амплитуды развития количественных отношений внутри неё. Количественные отношения внутри величины могут изменяться только в обратном порядке. Если прямое отношение представляет собой дробь, то обратное отношение представляет собой произведение. Например: 1 × 24, или 2 × 12, или 4 × 6, или 3 × 8.
При обратно пропорциональном отношении числовой показатель величины остаётся неизменным. Меняется соотношение её внутренних определений, её численности и кванта. Перемена их значения по отношению друг к другу происходит в обратном порядке. Увеличение одного ведёт к пропорциональному уменьшению другого, и наоборот.
Например. Рассчитанная нами благодаря прямому отношению величина ежегодного сбора зерновых культур, необходимая для всего населения России, составляет 75 млн тонн. Но эта цифра может включать в себя разное зерно: пшеницу, рожь, просо и т.д. Соответственно, их количества могут соотноситься в пределах данной цифры в обратной пропорции по отношению друг к другу.
Другой пример. Если для одного школьника на один учебный год требуется около 200 тетрадных листов, то исходя из этой цифры мы можем определить число и толщину тетрадей в следующих соотношениях. Это может быть 10 тетрадей по 20 листов, или 8 тетрадей по 25 листов, или 5 тетрадей по 40 листов и т.д. Хорошим примером обратного отношения служит также котировка курсов национальных валют: чем больше необеспеченных денежных единиц в обращении, тем ниже их курсовая стоимость.
§73. Численный показатель исходной величины (75 млн тонн, 200 тетрадных листов) ограничивает амплитуду колебания соотносящихся внутри неё сторон и через крайние точки этой амплитуды поглощает их собой. Тем самым мы вновь возвращаемся к своей величине, но уже как качественно определённой посредством прямого (внешнего) и обратного (внутреннего) отношения. Иначе говоря, её количественный показатель установлен теперь также и через присущее ей качество.
§74. Степенное отношение – это единство прямого и обратного отношения определений величины. Как квант величина есть некое качество, она есть то, что пребывает в себе в неизменном виде. Как численность она есть количество, то, что способно увеличиваться и уменьшаться. Действия по возведению в степень и по извлечению корня раскрывают способность величины к самоувеличению и самоуменьшению в пределах своего качества (§§65-66).
Следовательно, находясь на ступени степенного отношения, мы оставляем все другие величины за пределами своего внимания и сосредоточиваем его теперь только на данной величине. Подобно тому, как на ступени для-себя-бытия (сферы качества) мы приходим к определению нечто как исключающему из себя всё иное, так и теперь, на ступени степенного отношения (сферы количества), мы приходим только к одной величине как исключающей из себя все другие величины, но сохраняющей при этом способность изменяться в пределах своего качества.
§75. В степенном отношении величина содержит в себе уже не только количественную определённость, но и как исключающая из себя все другие величины указывает на своё единство со своей качественной определённостью. Таким образом, оттолкнувшись от категории для-себя-бытия нечто, мы вышли к категории количества, рассматривая которую, мы последовательно прошли через определения чистого количества, определённого количества и количественных отношений. Определив показатель величины через прямое и обратное отношение, мы тем самым вновь вернулись к категории для-себя-бытия нечто, но как уже соединившейся со своей количественной определённостью. Такое непосредственное единство качественной и количественной определённости предметов окружающего нас мира даёт нам категорию меры.
Осуществляя любые количественные исчисления, мы на самом деле всегда уже предполагаем их конечной целью определение меры. На это указывает и наш язык, который саму процедуру нахождения какого-либо количества называет измерением. Да и сам наш мир во всём является мерой. Неслучайна, видимо, и этимологическая близость самих этих слов: мир и мера.