ОГЛАВЛЕHИЕ
>>>
Важным стимулом в ходе обоснования математики стало развитое Георгом Кантором (1845-1918) учение о множествах (Mengenlehre). Введенные Кантором в математику новые понятия: мощность множества, вполне упорядоченное множество и т.д., – различение потенциальной и актуальной бесконечности, учение о классах чисел и т.д. стали поводом для еще неизвестной в такой мере потребности в строгой логической выработке основных понятий математики. Особое значение имело то, что при этом в математике были обнаружены противоречия, возникшие в связи с канторовским учением о множествах.
Основоположным понятием математики Кантора явилось понятие "множества" (Menge) и соответственно основным учением – "теория множеств". Может быть, после разработки античными математиками понятия о числе (возникшего еще ранее – в цивилизациях древнего Вавилона, Египта, Индии, Китая), а математиками нового времени – понятия о функции введение понятия "множества" было самым значительным новым этапом в истории этой науки. "Под... множеством, – разъяснял Георг Кантор, – я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона..." (16, 69).
Именно разработка этого понятия о множествах привела Кантора к учению о потенциальной и актуальной бесконечности.
В современной Кантору и в ближайшей к нему по времени математике господствовал (хотя и не исключительно) взгляд, признававший только один вид бесконечных величин – величину, способную к безграничному увеличению. Это так называемая "потенциальная бесконечность". Мыслить бесконечность как завершенное в себе постоянное количество или как "актуальную бесконечность" современники Кантора и многие его предшественники отказывались. Уже великий немецкий математик К.-Ф.Гаусс (1777-1855) решительно возражал против привлечения в математику в каком бы то ни было виде актуальной бесконечности. Отвергали актуальную бесконечность математики Жердиль (Gerdil), Коши (Cauchy), Муаньо (Moigno), а из философов – Зигварт, Куно Фишер (в своей "System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre". Heidelberg, 1865), французский кантианец Шарль Ренувье (Gh.Renouvier – в "Esquisse d'une classification systématique des doctrines philosophiques", v. I. Paris, 1885) и позитивисты.
Вразрез со взглядом всех этих ученых Г.Кантор признал, что наряду с "потенциальной бесконечностью" существует и должна исследоваться в математике также бесконечность "актуальная"*.
* Понятие это было введено чешским математиком и логиком Б.Больцано (1781-1848).
Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ..." (16, 85). Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным". Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, "потенциально бесконечное" есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это – "понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова: "datur" ("дано". – В.А.)" (16, 28). Оно "не означает само по себе никакой идеи" (16, 84). Кантор тут же оговаривается, – что и в этом своем смысле – как понятие отношения – потенциально бесконечное "благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания..." (16, 84). Будучи лишь вспомогательным понятием, понятием отношения, оно "всегда указывает на некоторый лежащий в основе transfinitum ("сверхконечное". – В.А.), без которого оно не может ни быть, ни быть мыслимым" (16, 111).
Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия "потенциальной бесконечности". Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурной бесконечностью" и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде "несобственно-бесконечного", принесли весьма большую пользу, так как они "доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых ив теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин" (16, 15). Больше того. Он находил, что все попытки насильственно превратить эти бесконечно малые в какие-то собственно-бесконечно малые "должны были бы быть оставлены, как бесцельные" (16, 15). Но как бы ни была велика ценность для науки "потенциальной бесконечности", эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной – то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.
В новейшее время в геометрии и особенно в теории функций стало применяться новое понятие о бесконечности. При исследовании, например, аналитической функции и комплексной переменной величины стало необходимым и общеупотребительным воображать себе в плоскости (представляющей комплексную переменную) некоторую, и притом единственную, точку, лежащую в бесконечности, то есть бесконечно удаленную, но определенную. Оказалось необходимым исследовать поведение функции вблизи этой точки, как вблизи любой другой точки. При этом выяснилось, что поведение функции поблизости бесконечно удаленной точки дает совершенно такую же картину, какую дает ее поведение поблизости всякой другой точки, находящейся на конечном расстоянии. Отсюда Кантор сделал вывод большой принципиальной важности. Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно "мыслить... бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке" (16, 4). Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть "собственно-бесконечным" (Eigentlich-Unendliches), или "актуально бесконечным".
Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает (в работе "Теория ассамблей"*) "некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество..." (16, 85).
* Устарелый термин, вместо которого в современной математике применяется термин "теория множеств".
Еще полнее и яснее определение актуально бесконечного в работе "К учению о трансфинитном". Здесь актуально бесконечным Кантор называет "такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой – в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида" (16, 122). Пример актуально бесконечного – совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, "некоторая вещь для себя и образует – отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел – некоторое неизменное во всех частях и определенное количество.., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество" (16, 122-123).
В свою очередь внутри сферы актуально бесконечного Кантор различил две его формы. Это – "трансфинитное" актуально бесконечное и абсолютное. По мысли Кантора, эти формы актуально бесконечного резко отличаются друг от друга. Трансфинитное следует мыслить "бесконечным, но в то же время доступным еще увеличению". Напротив, абсолютное "следует мыслить недоступным увеличению и поэтому математически неопределимым" (16, 86). Согласно Кантору, предмет математики – только трансфинитное бесконечное. В качестве идеального предела конечного можно мыслить не абсолютное, а лишь трансфинитное, "и притом как минимум всего трансфинитного (соответствующий наименьшему сверхконечному числу...)" (16, 87). Число это Кантор обозначил посредством греческой буквы "омега" (ω).
Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к "потенциальной бесконечности", к "несобственно-бесконечному". Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам "собственно-бесконечного", или к "актуальной бесконечности". Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем "не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам" (16, 5).
Исследование абсолютно бесконечного ряда реальных целых чисел привело Кантора к усмотрению в этом ряду так называемых числовых классов. Первый числовой класс есть множество конечных целых чисел: 1, 2, 3, .., v... За ним следует второй числовой класс. Он состоит из некоторых бесконечных целых чисел, следующих одно за другим в определенной последовательности. Затем идут 3-й, 4-й числовые классы и т.д. (см. 16, 6).
Введение новых целых чисел позволило Кантору, согласно его собственному заявлению, отчетливо сформулировать важное новое понятие его математики – понятие мощности (Mächtigkeit). Под "мощностью", или "количественным числом" какого-нибудь множества M (которое состоит из строго отличных, абстрактно-логически раздельных элементов m, m*... и которое постольку определено и отграничено), Кантор разумеет "общее или родовое понятие (universale), получающееся, если абстрагировать как от состава элементов множества, так и от всех отношений этих элементов друг к другу и к другим вещам, а в частности и от порядка, который может господствовать между этими элементами, и если иметь в виду лишь то, что обще всем множествам, эквивалентным M" (16, 104-105).
О двух множествах говорят, что они обладают одной и той же мощностью, "если между ними можно установить взаимно однозначное сопряжение элемента с элементом" (16, 6). Каждому строго определенному множеству присуща и определенная мощность. Но мощность конечных и бесконечных множеств различного рода. Мощность конечных множеств совпадает с количеством их элементов. В случае бесконечных множеств вопрос о точно определенном количестве элементов не имеет значения; в этом случае множество характеризуется мощностью, совершенно не зависящей от их порядка (см. 16, 6-7).
Исследования показали, что числовые классы определенно бесконечных реальных целых чисел представляют строго определенные множества с растущими в закономерной последовательности мощностями.
Между конечными и бесконечными множествами обнаружилось существенное различие. Конечное множество для любой последовательности, какую можно сообщить его элементам, представляет одно и то же количество. Но если множество состоит из бесконечно многих элементов, то такому множеству присущи, вообще говоря, различные количества в зависимости от последовательности, которая сообщается элементам. В то время как мощность множества не зависит от его расположения, количество бесконечного множества зависит от некоторой данной последовательности его элементов (см. 16, 9).
Фундаментальным понятием для развитой Кантором теории множеств стало понятие "вполне упорядоченного множества". Под таким множеством Кантор понимает всякое строго определенное множество, элементы которого "связаны между собой некоторой определенной, данной наперед, последовательностью" (16, 8). Согласно этой последовательности: 1) существует первый элемент множества и за каждым отдельным элементом (кроме случая, если он последний в ряду) следует определенный элемент; 2) к любому – конечному или бесконечному – множеству элементов принадлежит некоторый определенный элемент – ближайший, следующий за всеми ними элемент в последовательности (кроме случая, когда вообще не существует элемента, следующего за всеми ними в последовательности) (см. 16, 8).
С помощью этого понятия "вполне упорядоченного множества" получаются, во-первых, основные действия для целых чисел – как для конечных, так и для определенно бесконечных – и, во-вторых, законы этих чисел. Кантор подчеркивает, что и действия и законы усматриваются при этом интуитивно – "из непосредственного внутреннего созерцания с аподиктической достоверностью" (16, 11. Курсив мой. – В.А.).
К этим своим новым понятиям Кантор пришел после долгих лет размышления, в течение которых он находился во власти традиционных взглядов на бесконечность. Анализ возражений, выдвигавшихся начиная с Аристотеля и затем схоластиков против понятия "актуальной бесконечности", внушил Кантору мысль, будто в основе всех этих возражений кроется ошибочная предпосылка о существовании одних только конечных чисел.
Не располагая понятием "вполне упорядоченного множества", нельзя было понять, что если множествам сообщен определенный закон, в силу которого они становятся "вполне упорядоченными" множествами, то при таком условии и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и со множествами конечными. Поэтому бесконечно большое рассматривали только в форме сходящихся бесконечных рядов, введенных уже в XVII в.
Кантор рассматривает возражения против актуальной бесконечности, выдвинутые философами – Декартом, Спинозой, Лейбницем, Локком. Говоря о "конечности рассудка", эти философы молчаливо предполагали, будто ум человека способен мыслить только конечные числа. Этому взгляду, ограничивающему способность человеческого рассудка к познанию, Кантор противопоставляет свой, основывающийся на гордой вере в мощь человеческого познания. "Если окажется, – говорит Кантор, – что рассудок в состоянии также в известном смысле определить и отличать друг от друга бесконечные, то есть сверхконечные ("трансфинитные". – В.А.), числа, то... придется приписать человеческому рассудку в известных отношениях предикат "бесконечный", что, по моему мнению, единственно правильно" (16, 22). И Кантор заявляет, что он защитник воззрения, согласно которому человеческий рассудок "обладает безграничными задатками к постепенному образованию целых числовых классов, которые находятся в определенном отношении к бесконечным модусам и мощности которых все больше и больше" (16, 22-23).
Воззрение это наполняло Кантора чувством величайшего удовлетворения: "Когда я рассматриваю бесконечное так, как я это сделал здесь.., меня охватывает истинная радость... при виде того, как понятие целого числа, имеющее в области конечного под собой лишь понятие количества, как бы раскалывается, когда мы подымаемся в область бесконечного, на два понятия – на понятие мощности, независимое от присущего некоторому множеству порядка, и понятие количества, необходимым образом связанное с некоторым закономерным порядком множества, благодаря которому последнее становится вполне упорядоченным множеством. А когда я обратно спускаюсь из области бесконечного в область конечного, то я так же ясно и прекрасно вижу, как оба понятия снова становятся одним и соединяются в понятие конечного целого числа" (16, 29-30).
В приведенных строках не только звучит величайший познавательный оптимизм. В них Кантор, кроме того, говорит о "ясном видении". Это "ясное видение" актуально бесконечного и его отношения к конечному есть тоже интуиция. Но какая? Не чувственная и не интуиция разума, о которой говорили Дж.Бруно, Шеллинг, Гегель. Различение формально мыслящего "рассудка" и диалектически мыслящего "разума", столь характерное для античных неоплатоников, для Дж.Бруно, для немецких романтиков и для Гегеля, совершенно чуждо Кантору. Он исходит из интуиции парменидовского "бытия", а не гераклитовского становления. Когда он говорит о "ясном видении" актуально бесконечного, он имеет в виду не интуицию разума, а "интуицию рассудка" (правда, самим термином "интуиция" Кантор почти не пользуется). Тем самым Кантор возвращается к воззрению рационалистов XVII в. в вопросе об "органе" интуитивного "видения". Не "разум" романтиков и Гегеля, а "интеллект", "рассудок" "видит", по Кантору, актуально бесконечное. Возможно, что этим объясняется беспощадно отрицательное отношение Кантора к Канту. Ведь именно Кант, как было показано выше, утверждал, что наш "рассудок" (Verstand), или "интеллект", начисто лишен способности интуитивного видения. В кантовской теории познания Кантор видел недопустимое умаление мощи человеческого рассудка, воззрение самого нигилистического скептицизма. Говоря о кантовских антиномиях чистого разума, Кантор находит, что вряд ли что-либо еще – "не исключая скепсиса пирронизма и Академии, с которым у Канта столь много общего, – так способствовало дискредитированию человеческого разума и его способностей" (16, 87).
В каком же отношении к реальности находится, по Кантору, новое понятие актуальной бесконечности? Ответ Кантора на этот вопрос чрезвычайно интересен. Он предлагает различать два вида реальности математических понятий. Им присуща, во-первых, реальность, которую Кантор называет "имманентной", или "интрасубъективной". Это реальность математических понятий в свободном порождении нашего мышления. Это – обнаружение той свободы математики, которую Кантор считает исключительной и наиболее характерной чертой математики как науки. В этом смысле, согласно разъяснению Кантора, "мы можем считать целые числа действительными постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются (курсив мой. – В.А.) от других составных частей нашего мышления, стоят к ним в определенных отношениях..." (16, 30). Эту сторону свои? размышлений Кантор называет "идеалистической" (16, 31). Но в основе "имманентной" реальности целых чисел лежит, по Кантору, реальность другого вида. Числам "можно приписать реальность также постольку, поскольку их следует рассматривать как выражения или отображения процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту, поскольку, далее, различные числовые классы... являются представителями мощностей, имеющих действительное место в телесной или духовной природе" (16, 30. Курсив мой. – В.А.). Эту сторону своих размышлений Кантор характеризует как "вполне реалистическую", а самое реальность этого типа называет "транзиентной реальностью целых чисел" (16, 30).
При этом Кантор не просто ставит оба эти вида "реальности" целых чисел один рядом с другим. Правда, он полагает, что математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним условием: ее понятия должны быть свободны от внутренних противоречий и должны находиться в неизменных, установленных определениями отношениях к понятиям, образованным раньше и уже наличным.
Развивая эти мысли, Кантор заключает, что при разработке своих идей математика "должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и поэтому не обязана вовсе проверить также их транзиентную реальность" (16, 31).
И все же "свобода" математики – свобода, в которой Кантор даже видит ее "сущность" (см. 16, 32), вовсе не означает, по его уверению, произвола или спонтанности математически мыслящего ума. Оба вида реальности, присущие понятиям математики, – реальность "имманентная" и "транзиентная", – по его убеждению, "всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью" (16, 31). И Кантор подчеркивает согласие этого своего положения со взглядами Спинозы ("порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей"), а также Платона: "То, что можно познать, есть; того, чего нельзя познать, – нет, и в той же мере, в какой нечто есть, оно также и познаваемо" (мысли Платона Кантор излагает по Эдуарду Целлеру, см. 95, 541-602). А в одном из своих писем (по поводу различных точек зрения на актуально бесконечное) Кантор, говоря о противоположности бесконечных чисел числам конечным, подчеркивает, что свойства вида бесконечных чисел "вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков" (16, 81). Поэтому отрицание многими крупнейшими математиками актуально бесконечного представляется Кантору "немалым преступлением против природы вещей, которые следует брать такими, каковы они в действительности" (16, 86. Курсив мой. – В.А.).
Глубокое убеждение Кантора в "транзиентной" реальности математических понятий обусловило его резко отрицательное отношение к "теории знаков" Гельмгольца и к психологизму близкой к ней по духу теории Кронекера. Кантор сам отчетливо выдвинул основной пункт разногласия между ним и обоими этими видными учеными. Пункт этот – субъективизм "знаковой" теории. "Было бы ошибочно думать, – указывал Кантор, – что противоположность их и моих воззрений сводится к противоположности между номинализмом или концептуализмом, с одной стороны, и защищаемым мною умеренным аристотелевским реализмом – с другой. Наоборот, весьма поучительно убедиться в том, что для обоих этих мыслителей числа представляют прежде всего знаки, но не знаки, скажем, для понятий, которые относятся ко множествам, а знаки для вещей, отсчитываемых при субъективном процессе счета. Само собой разумеется, что, с моей точки зрения, ход мыслей обеих этих работ представляет совершенное hysteron proteron*" (16,96-97).
* Греческое название логической ошибки в доказательстве, состоящей в том, что некоторый тезис доказывается с помощью положения, которое само может быть обосновано только на доказываемом тезисе.
Но признание зависимости понятия об актуально бесконечном "от природы вещей" еще не означает, конечно, что Кантор стоит в философском осмысливании основ математики на материалистической точке зрения. Признание независимого от личного сознания существования объектов науки может быть выражением не материализма, а объективного идеализма. Именно такова позиция Кантора. Для него понятия о множествах, несмотря на то, что он их называет "отображением процессов и отношений во внешнем мире", представляют "эйдосы", "универсалии" если не в прямом смысле Платона, воззрению которого они, впрочем, очень близки, то во всяком случае в смысле умеренного аристотелизма. Кантор сам недвусмысленно характеризует – и в этом он прав – собственную позицию как идеалистическую. Больше того. Распространенную в его время "боязнь бесконечности" (horror infiniti), как он ее называет, Кантор объясняет... "влиянием современного эпикурейски-материалистического духа времени" (16, 86). В противоположность этому материализму Кантор видит в своем понятии о множестве "нечто, родственное платоновскому είδος, ιδέα, а также тому, что Платон в своем диалоге "Филеб, или высочайшее благо" называет μιχτόν ("смешанное": из "предела" и "беспредельного". – В.А.)" (16, 69).
Философская слабость и несостоятельность взглядов Кантора – великого математика – не только в том, что "реальность" актуально бесконечного он понимает не в смысле материализма, а в смысле объективного идеализма. Философская слабость его состоит и в том, что, чрезвычайно ясно охарактеризовав понятие об актуально бесконечном как своеобразное интеллектуальное видение (интеллектуальную интуицию в смысле Декарта, Спинозы, Лейбница),Кантор совершенно не задается вопросом о генезисе, о происхождении этого понятия (этой интуиции) из опыта, из практики. Он ограничивается только тем, что показывает зависимость между интуитивной ясностью и четкостью понятия об актуальной бесконечности и ясностью и четкостью вводимых им определений, на которых это понятие основывается. Всюду, где у Кантора идет речь об интуитивной ясности и отчетливости понятий математики, имеется в виду интуиция не чувственная, а интеллектуальная, предполагающая при этом точную логическую выработку понятий с помощью определений, свободных от противоречий. Напротив, формы чувственной интуиции Кантор считает совершенно неспособными к образованию понятий математики и к решению ее специальных проблем. Так, проблема континуума, по Кантору, не может быть удовлетворительно решена с помощью кантовских априорных форм чувственной интуиции – пространства и времени, "так как и пространство и мыслимые в нем образы получают лишь с помощью уже логически готового континуума то содержание, благодаря которому они могут стать не только предметом эстетического рассмотрения, философского остроумия, или неточных сравнений, но и предметом трезвых точно-математических исследований" ( 16, 48).
Кантор ограничивается сказанным. Он не ставит вопрос о происхождении тех определений, на основе которых он вводит свои понятия о бесконечности. Генетическая точка зрения ему совершенно чужда. Подобно великим рационалистам XVII в. он признает наличие интеллектуальной интуиции (понятий множества, актуальной бесконечности), но в отличие от них отказывается от философского объяснения этого наличия. Как математик, он считает себя (и вместе с тем всю математику) свободным от обязанности такого объяснения. Он даже полагает, что именно "свобода" математики, в частности свобода от обязательства дать философское объяснение математических понятий, была условием успеха специальных математических теорий. "Если бы, – утверждает он, – Гаусс, Коши, Абель, Якоби, Дирихле, Вейерштрасс, Эрмит и Риманн были обязаны подвергать всегда свои новые идеи метафизическому контролю (то есть философскому исследованию. – В.А.), то мы бы, право, не смогли наслаждаться грандиозной системой современной теории функций... Мы не видели бы перед собой великолепного расцвета теории дифференциальных уравнений в руках Фукса, Пуанкаре и многих других..." (16, 33).
Спору нет, математик не обязан быть философом. Никто не вправе вменить Кантору в обязанность вступать в обсуждение "метафизических", как он их называет, вопросов об отношении математических понятий к действительности и к практике. Но важно понимать, что эти вопросы как вопросы, философии возникают с непреложной необходимостью и что решение их может быть найдено только на путях диалектики.
Впрочем, не решая и даже не ставя сколько-нибудь обстоятельно вопроса о генезисе определений и понятий математики, которые мыслятся с интуитивной отчетливостью, Кантор видит, что понятия эти – если они истинны-имеют корни в самой реальности. Так, например, хотя современная теория функций была создана, по Кантору, "совершенно свободно", она "уже и теперь в своих применениях к механике, астрономии и математической физике обнаруживает, как этого и следовало ожидать, свое транзиентное значение" (16, 33). Поэтому тезис о "свободе" математического творчества Кантор подвергает важному ограничению. "Если математика, – говорит он, – имеет полное право развиваться совершенно независимо от всяческих метафизических влияний, то, с другой стороны, я не могу этого права... признать, например, за аналитической механикой и математической физикой. По моему мнению, эти науки, как в своих основах, так и в преследуемых ими целях, метафизичны" (16, 33). На языке Кантора "метафизичность" математической физики (и аналитической механики) означает, что в этих науках неустранимо объяснение отношений, существующих между их понятиями и объективной реальностью. "Если они, – указывает Кантор, – пытаются освободиться от этого, как это было предложено недавно одним знаменитым физиком, то они вырождаются в какое-то "описание природы", которое по необходимости лишено свежего дыхания свободы математической мысли и способности истолкования и объяснения явлений природы" (16, 33-34).
Идеи Кантора оказали огромное влияние на развитие всей новейшей математики. Многие крупнейшие математики приступили к переработке ряда основных разделов математики в понятиях теории множеств. Основанная Кантором теория множеств содействовала перестройке и обоснованию математического анализа. Условием этого обоснования была разработка теории пределов. Но теория пределов сама опирается на строгое определение иррационального числа. Такое определение было разработано именно на фундаменте теории множеств Дедекиндом, Вейерштрассом и Кантором.
Разработка понятия о множестве способствовала возникновению новых частей математики. Это была сама теория множеств – общая и специальная теория "точечных" множеств; теория функций действительного переменного и ее подразделения (теория интегрирования, теория тригонометрических рядов, общая теория "разрывных" функций); теоретико-множественная топология; функциональный анализ.
Но теория множеств не только стала основой ряда новых важных частей математики. Понятия и методы этой теории стали оказывать мощное влияние на развитие и разработку большинства математических наук. В каждой отрасли математики, по утверждению П.Александрова, все больше распространяется метод определения предмета ее исследований· "как некоторого множества объектов, удовлетворяющих известной системе соотношений" (4, 15). Методы теории множеств проникли во все области математики. Они охватили самые различные части математического анализа: теорию функций комплексного переменного, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и т.д. (см. 4, 15). При этом влияние оказали не только разработанные Кантором понятия о "мощности" множеств, о "вполне упорядоченных множествах", о "числовых классах", о "трансфинитных" числах и т.д. В трудах Кантора можно найти идеи, не столь подробно развитые, но тем не менее получившие дальнейшую жизнь и развитие в работах видных математиков других направлений. Не имея возможности останавливаться на этом вопросе в настоящей работе, отметим только четыре идеи. Во-первых, у Кантора мы находим мысль, подробно развитую Пуанкаре, – мысль о том, что под "существованием" математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Во-вторых, Кантор отстаивает "свободу" математического творчества – взгляд, который получит дальнейшее развитие в математическом "интуиционизме". В-третьих, Кантор ограничивает эту "свободу" возможностью плодотворной интерпретации и применения "свободно" создаваемых математикой новых принципов и понятий о ее объектах. В этом смысле Кантор разъяснял, что если, например, вводимое математикой новое число "неплодотворно или нецелесообразно, то это весьма скоро обнаруживается благодаря его полной непригодности, и тогда оно за отсутствием успеха отбрасывается" (16, 32). В более резкой форме взгляд этот был развит впоследствии Лузиным. В-четвертых, признавая, что новые принципы, понятия и законы математики усматриваются интуитивно, в порядке "внутреннего созерцания", или интеллектуального видения, Кантор сводит "интуитивность" этого видения к той полной ясности и отчетливости, которые возникают лишь на основе и в результате точных определений, изначально свободных от всякой неясности и противоречивости. Так, при введении новых чисел математика "обязана только дать определения их, благодаря которым они получают такую определенность и при известных обстоятельствах такое отношение к прежним числам, что их можно во всех данных случаях определенно отличать друг от друга" (16, 32). Это сведение интуитивности математических понятий к отчетливости, вводимой логическими определениями, получило дальнейшее развитие в математическом "интуиционизме".