ОГЛАВЛЕHИЕ
>>>
После возникновения в XVII столетии новой математики и в особенности после того как первоклассные ученые приступили к строго логической выработке анализа и в течение XIX в. добились в этом ценных результатов, в математике (и в логике) возникла тенденция, во многом изменившая прежнее – полулогическое, полуинтуитивное – понимание математики. Отныне стали стремиться к тому, чтобы не только довести до наивозможного минимума круг основных положений математики, приобретаемых с помощью интуиции, но и начисто свести математику к логике, рассматривать систему положений математики как результат строгой разработки учений логики. Подготовкой к обоснованию и выражению понятий математики понятиями логики была разработка языка логических символов, начатая Булем и выполненная в последнем десятилетии XIX в. и в первом десятилетии XX в. итальянским ученым Пеано и его последователями (Падоа и другими). Выражением важных математических понятий на языке понятий логики занимались немецкие математики Фреге и Дедекинд. Систематически это направление было развито англичанами Расселом и Уайтхедом в капитальной трехтомной работе "Principia mathematica" (первое издание в 1910-1913 гг.). Для них математика есть не что иное, как логика. Интуитивные элементы математики исключаются. Содержание науки выводится из весьма небольшого круга определений и положений, принимаемых без доказательства. Слова языка, посредством которых в обычной жизни выражаются логические отношения, заменяются точно фиксированными символами. Выведение новых положений из принятых определений и исходных положений производится согласно строгим правилам логики. Талантливость ученых, создавших это направление, соединялась с их величайшим одушевлением, с твердым убеждением в том, что направление это (получившее впоследствии название "логицизма") как бы впервые открывает математике ее настоящую сущность. В уже цитированной статье Рассел писал: "Один из главных триумфов новейшей математики заключается в открытии, в чем, действительно, состоит математика" (14,83).
Увлечение новым пониманием предмета математики и ее логического характера шло у "логицистов" рука об руку с энергичным отрицанием интуитивного обоснования математики. Этому отрицанию подверглись не только грубо интуитивная трактовка математики и, в частности, геометрии, предложенная Шопенгауэром*, но и учение Канта о пространстве и времени как априорных формах интуиции, на которые, согласно Канту, опираются априорные синтетические суждения в геометрии и арифметике. Кант прямо утверждал в "Критике чистого разума", будто "все геометрические принципы, например, то, что в треугольнике две стороны больше третьей, всегда выводятся из интуиции (aus der Anschauung) a priori с аподиктической достоверностью, но никогда не извлекаются из общих понятий линии и треугольника" (65,39).
* Удивительное непонимание сущности анализа, проявленное Шопенгауэром, раскрыто в работе Альфреда Принцгейма "Ценность и мнимая не-ценность математики" (доклад на заседании Баварской академии наук в Мюнхене 14. III. 1904; напечатан в первом сборнике "Новых идей в математике". П., 1917, стр. 104-144). Ср. также критику Шопенгауэра у Кутюра (см. 12, 246).
Критика кантовского воззрения была критикой недостаточности рационализма в Кантовой теории математики. Критика эта выявила противоречие во взглядах Канта на логическую природу математики. Из некоторых мест второго издания "Критики чистого разума" ясно, что Кант допускал рассудочное происхождение геометрических истин и что в синтетическом единстве пространства он видел результат функции рассудка (см. 65, 160). Однако это признание роли интеллекта и логики в математических исследованиях и доказательствах подавляется у Канта основным для него воззрением, согласно которому априорные синтетические суждения имеют основу в интуиции – в наглядном созерцании. Уже Фреге, высоко оценивший проведенное Кантом различение синтетических и аналитических суждений, тем не менее подверг глубокой критике кантовскую теорию арифметики в своем труде "Основы арифметики" ("Grundlagen der Arithmetik". Breslau, 1884; второе издание на немецком и параллельно на английском языках – "Die Grundlagen der Arithmetik" – "The Foundations of Arithmetic". Oxford, 1953).
Таким образом, разработка "логицистического" учения, сводящего математику к чистой логике, оказалась связанной со спором философских направлений. Одно из них восходило к Лейбницу с его аналитической теорией суждения и с его замыслом "Всеобщей характеристики" (алгебры), приложимой ко всем возможным формам дедукции и формализующей все здание науки. Другое имело опору в теории познания Канта – в его классификации суждений на аналитические и синтетические и в "трансцендентальной эстетике" с ее априорными формами пространства и времени, дающими начало различным формам математического созерцания.
Однако, несмотря на всю важность связи между направлениями математики и различными направлениями теории познания, наметившиеся внутри математики различия и разногласия по вопросу об интуиции имели в числе своих движущих сил мощные мотивы, возникавшие в ходе развития самой математической науки и имманентные ее специфическому содержанию и специфической проблематике. В ходе этого развития неуклонно укреплялась и оформлялась мысль, что математика не связана с частными родами предметов, которые могут быть даны нашей интуиции. Из науки о числах и величинах математика все более превращалась в общий метод доказательства и открытия. Процесс этот произошел не вдруг, а развивался путем ряда последовательных достижений. До мысли, что математика не есть наука о числах и величинах и что она не необходимо обусловлена интуитивно воспринимаемыми свойствами объектов, дошли, как указывает Кутюра, "лишь мало-помалу, вслед за открытием барицентрического исчисления Мёбиуса, исчисления эквиполлентных Беллавитиса, геометрического исчисления Грассмана, кватернионов Гамильтона, проективной геометрии Штаудта, теории ансамблей (множеств. – В.А.), теории субституций и групп, наконец, логического исчисления Буля" (12, 258). Именно Буль первый высказал положение, что занятие идеями числа и количества "не составляет сущности математики" (29, 12).
Следовательно, оформившаяся в новейшей математике критика интуиции как опоры и источника математического познания вовсе не была почерпнута математиками у философов. Начавшаяся в математике "тяжба" по вопросу о роли интуиции в математике, как правильно отметил Кутюра, была не только тяжбой "между Кантом и Лейбницем" (см. 18, 114), но и спором точек зрения, каждая из которых черпала доводы в свою пользу из соображений специально математического характера. В особенности направление, сводившее математику к логике ("логистика", "логицизм"), стремилось подчеркнуть свою независимость от философии и доказать чисто математическое происхождение своей точки зрения. Такова была позиция Рассела в эпоху создания им основных трудов по математической логике и, в частности, позиция пропагандиста и защитника его идей Луи Кутюра.
Направление математического "логицизма" представляло род позитивизма в философии математики. Декларации о полной независимости "логицизма" от философии, сопровождавшиеся у Кутюра высокомерными и презрительными насмешками по адресу философов, выражали очень относительную истину и очень крупное принципиальное заблуждение. Относительная истина состоял а в том, что "логицисты" действительно ставили свои задачи как задачи чисто математические и стремились решать их только математическими средствами. Их отрицательное отношение к философии по сути было не столько отрицанием всей философии, философии вообще, сколько одной определенной философии – философии Канта; это был а критика интуитивизма его "трансцендентальной эстетики", критика его консервативной, вполне традиционной логики, его теории синтетических суждений. Напротив, "логицизм" очень уважительно отнесся к Лейбницу – к его аналитической теории суждения и истины, к его замыслу "Всеобщей характеристики", к его взгляду на определения и аксиомы. Совершенно не случайно поэтому, что именно Лейбницу были посвящены ценные исследования Рассела ("A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz", 1900, 2-oe изд., 1937) и Кутюра ("La logique de Leibniz", 1901; "Opuscules et fragments inédits de Leibniz", 1903).
Принципиальное заблуждение "логицизма" состояло в иллюзии, будто критическая позиция, занятая "логицистами" в отношении Канта, означала достижение ими полной независимости от всякой философии. В действительности наряду с аргументами, которые "логицизм" черпал из содержания самой математики как специальной _науки (в этом своем специальном содержании, не обусловленном философией и от нее независимом), "логицизм" исповедовал, не отдавая себе в этом полного отчета, вполне определенную философию (гносеологию). Это была гносеология особой формы рационализма, предвестие которой "логицисты" нашли в философии и математике Лейбница. В этом смысле вопреки заявлению Кутюра критика, осуществляемая "логицистами", все же оставалась "тяжбой" если не между Кантом и Лейбницем, то по крайней мере между рационализмом "наполовину", признававшим огромную роль чувственной интуиции в познании, и рационализмом более "интеллектуалистическим", более последовательным, чем кантовскии, стремившимся построить математику на чисто логической основе, без опоры или с минимальной опорой в интуиции. Попытка эта встретила критику. Первым серьезным критиком "логицистического" обоснования математики оказался крупнейший французский математик Анри Пуанкаре. Критическому разбору идей "логицизма" Пуанкаре посвятил работу "Математика и логика", печатавшуюся в XIII и XIV томах журнала "Revue de Méthaphysique et de Morale" (p. 815-835 и 17-34; русский перевод их появился в десятом сборнике "Новых идей в математике". П., 1915, стр. 1-52). Свои взгляды он изложил также в главе "Интуиция и логика в математике" в книге "Ценность науки" ("La valeur de la science". Paris, 1905, p. 11-34; русский перевод, M., 1906, стр. 11-42).
В отличие от "логицистов" Пуанкаре не отмежевывается от философии и не скрывает связи своих идей с идеями философов, в частности с учением Канта об априорных синтетических суждениях математики. Но, так же как и "логицисты", Пуанкаре в своих рассуждениях по вопросу об интуиции в математике не отделяет ясно то, что в его аргументации вызвано его философскими предубеждениями, от того, что в ней определяется специально математическими обоснованиями и что имеет значение и ценность независимо от его философских позиций и несмотря на характерный для них путаный, непоследовательный идеализм. Задачу этого разграничения Пуанкаре предоставляет своим читателям и критикам. Будучи выполнено, это разграничение дает интересный результат. Оно лишний раз подтверждает, что проблема интуиции имеет не только философское, но и положительное научное содержание. Критика Пуанкаре показала, что сведение математики целиком к одной лишь логике встречает значительные трудности. Эти трудности не временные и обусловлены не только недостатком изобретательности "логицистов", пытавшихся свести математику к логике. Основа трудности здесь в том, что из математических рассуждений не могут быть полностью удалены некоторые их элементы и принципы, основывающиеся уже не на логике, а на интуиции, то есть на непосредственном интеллектуальном усмотрении.
К сожалению, отчетливость в постановке вопроса о возможности сделать математику независимой от интуиции осложняется у Пуанкаре многозначностью его понятия об интуиции. В этом понятии математика постоянно смешивается с философией, математическая интуиция – с кантовскими априорными синтетическими суждениями*. Смешение это сильно затемняет проблему. Кантовский априоризм и смешение его с вопросом об интуиции способствуют возникновению ошибочного взгляда, будто несостоятельно и идеалистично всякое учение и всякое понятие об интуиции, будто признать, как это делает Пуанкаре, существование интуитивных элементов математики можно, только соглашаясь с учением Канта об априорном характере и чувственной природе интуиции пространства и времени.
* Вот один из многочисленных примеров. В работе "Математика и логика", говоря о том, что Рассел вводит принципы, которые он выдает за недоказуемые, Пуанкаре возражает: "Но эти недоказуемые принципы... не что иное, как обращения к интуиции, синтетические суждения a priori" (18, 19). Здесь интуиция в математике прямо отождествлена с кантовским априорным синтетическим суждением. Но это совершенно неверно. Можно признавать факт существования интуиции в математике, но при этом не сводить интуицию к ее кантовскому типу! Заметим здесь, что на связь идей Пуанкаре со взглядами Канта не было обращено достаточное внимание. Может быть, это объясняется тем, что связь эта рельефнее всего выступает именно в вопросе о роли интуиции в математике. А проблему интуиции философы своим вниманием не жаловали. К вопросу об отношении Пуанкаре к Канту привлек внимание Абель Рей. В книге "Современная философия" ("La philosophie moderne". Paris, 1908) Рей писал о теории Пуанкаре: "Не обратили достаточного внимания на ее связь с кантианством, из которого она вполне заимствует теорию синтетических суждений a priori..." В.И.Ленин, читавший и конспектировавший книгу Рея, дважды подчеркнул в процитированном нами месте фразу Рея об отношении Пуанкаре к Канту, а на полях конспекта написал: "Пуанкаре и Кант" (3, 414).
В одних случаях "интуиция" выступает у Пуанкаре как принцип математического рассуждения, как основание и условие математической дедукции. В других же случаях "интуиция" толкуется как синоним математической "догадки", математического вдохновения, как условие творчества в математике. Особенно ясно этот последний смысл термина "интуиции" проглядывает в третьей главе книги "Наука и метод" с ее знаменательным названием "Математическое творчество" (78, 43-63). Здесь "интуицией" Пуанкаре называет просто чувство того порядка, в каком должны располагаться элементы математического рассуждения или доказательства. Это "интуиция математического порядка, дающая возможность угадывать гармонию и скрытые отношения" (78, 47). И Пуанкаре поясняет понятие интуиции, рассказывая об обстоятельствах, при которых им была найдена и разработана теория так называемых фуксовых функций. В этом рассказе, который сам по себе чрезвычайно интересен и ценен для психологии научного открытия, Пуанкаре особенно подчеркивает внезапность интуитивного усмотрения и непосредственность сознания его безусловной истинности, чувство абсолютной уверенности, сопутствующее вдохновению (см. 78, 53-55).
С этим значением интуиции как догадки и вдохновения близко соприкасается другое. Под "интуицией" Пуанкаре часто понимает дар математического творчества, способность к математическому изобретению, к открытию новых математических идей. В этом смысле "интуиция" отличается у него от "логики" как искусства доказательства уже найденных идей. Отличается, но не противопоставляется. Понятые в этом значении "интуиция" математика и "логика" математика друг друга предполагают и взаимно дополняют. "Посредством логики доказывают, – поясняет Пуанкаре, – посредством интуиции изобретают" (78, 137). "Логика говорит нам, что на таком-то и таком-то пути мы, наверное, не встретим препятствий; но она не говорит, каков путь, который ведет к цели. Для этого надо издали видеть цель, а способность, научающая нас видеть, есть интуиция. Без нее геометр был бы похож на того писателя, который безупречен в правописании, но у которого нет мыслей" (78, 137).
Конечно, бесполезно спорить о словах. Нельзя никому запретить называть "интуицией" способность изобретения и предшествующую доказательству способность предвидения. Но надо точно оговорить этот смысл понятия "интуиции" и отличить его от понятия о логически невыводимых элементах доказательства. Пуанкаре не делает этой оговорки. У него "интуиция" выступает то как "нелогический" элемент или основа доказательства, то как способность изобретения. В первом смысле она принадлежит все же к аппарату или системе доказательства, и тогда возникает вопрос об отношении между интуитивными и логическими элементами доказательства. Во втором смысле она действие ума, не входящее в систему доказательства, и составляет предмет исследования не логики, не теории познания, не методологии, а психологии творчества, психологии изобретения, эвристики. У Пуанкаре оба эти значения не разделены, а смешиваются, затрудняя понимание и вызывая справедливые нарекания в неясности вроде тех, которые сделал Кутюра.
Совершенно ясно, что совсем не этот смысл термина "интуиция" (не интуицию как "догадку") имели в виду математики и логики, оспаривавшие, как Рассел и Кутюра, роль интуиции в математическом доказательстве и рассуждении. У них речь шла не о догадке, не о вдохновении, а об интуиции в ее гносеологически-логическом, если позволено так выразиться, содержании. Они не касались вопроса о том, как приходит математику на ум его открытие. Их интересовал (как, впрочем, и самого Пуанкаре) вопрос, можно ли в логическом строении математического доказательства найти такие элементы, которые входят в него не как звенья логической связи, а как интуитивные основы всей цепи дедукций и как интуитивные предпосылки самих логических связей. "Логицисты" утверждали, что, введя без доказательств небольшой круг определений, математика в дальнейшем развитии своих дедукций не нуждается больше ни в каких интуитивных усмотрениях; все остальное в ней – дело одной логики, задача чисто логического построения. И до возникновения "логицизма" все математики были согласны с тем, что дедукция предполагает первые предложения, которые наука вынуждена постулировать и которые в этой науке не выводятся. И точно так же все были согласны с тем, что источник этих постулатов может быть различный. Новым в "логицизме" было утверждение, что в отличие от других дедуктивных наук математика, строго говоря, не нуждается в постулатах. Различные математические теории, доказывал Рассел, опираются не на собственные интуитивно созерцаемые аксиомы, а только на определения. Математика состоит (как выразился Кутюра, поправляя Максима Бохера) в дедукциях, производимых "от логических определений по логическим принципам" (12, 186). Что касается объектов математики, то в отличие от объектов других дедуктивных наук они "определяются в функции одних только логических констант" (12, 186). И если по форме математика – "ансамбль выводов, сообразных с принципами логики", то по содержанию она "ансамбль определений, содержащих только термины логики" (12, 186).
Выступая против "логицизма", Пуанкаре имел в виду не только эвристическое понимание интуиции, но и логико-гносеологический предмет спора. Особенно в своей полемике с Кутюра он разумеет под "интуицией" уже не "вдохновение", не "догадку", а прямые, не опирающиеся на логику интеллектуальные усмотрения. В статье "Математика и логика" Пуанкаре спорит с Расселом, Пеано и их единомышленниками уже не как психолог, исследующий условия математического открытия, а как математик, против математиков по существу теории математического доказательства.
Вопрос об интуитивных предпосылках науки связывается у Пуанкаре с вопросом о природе и видах аксиом. Он рассматривает этот вопрос в первой части книги "Ценность науки". Характер аксиом выясняется здесь путем разбора четырех примеров. Это аксиомы:
Согласно утверждению Пуанкаре, все эти четыре аксиомы "должны быть приписаны интуиции" (77, 21). Однако познавательная функция их, по Пуанкаре, не одна и та же. Первая из них выражает одно из правил формальной логики. Вторая есть настоящее априорное синтетическое суждение в кантовском смысле и не может быть получена путем логического анализа понятий. В математических рассуждениях она играет чрезвычайно важную роль, так как на ней основывается строгая математическая индукция. Третья апеллирует к пространственному представлению. Наконец, четвертая есть скрытое определение. Это знаменитый постулат Евклида, основа его теории параллельных (см. 77, 21).
Из дальнейших разъяснений Пуанкаре видно, что он отличает интуицию чувственную от интуиции интеллектуальной и что в основу строгих математических рассуждений он кладет не чувственную, а именно интеллектуальную интуицию. "Мы имеем, – поясняет он, – несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа – ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому рассуждению" (77, 22).
Это разъяснение Пуанкаре доказывает несправедливость критики Кутюра, который, по-видимому, решил, что интуиция, признаваемая Пуанкаре, не интеллектуальная, а обычная интуиция, основывающаяся на наглядном чувственном представлении. "Я пожертвую строгостью ради ясности, – обращался Кутюра к Пуанкаре, – не ради той логической ясности, которая неотделима от строгости и которую можно получить лишь с помощью логического символизма, но ради той вульгарной ясности, которую называют интуицией и которую так прославляет г. Пуанкаре" (18, 54). В другом месте Кутюра прямо обвиняет Пуанкаре в том, что под интуицией он не понимает интуицию интеллектуальную, которая одна лишь приемлема в математическом рассуждении. "Выдвигание против логиков ("логицистов". – В. А.)... неопределенного понятия интуиции, – пишет Кутюра, – является злоупотреблением, особенно, когда не указывают точно, о какой интуиции идет речь. Об интеллектуальной ли интуиции, которая касается отношения идей, или о чувственной интуиции, которая принимает неизбежно пространственную форму? Обе эти интуиции радикально отличаются друг от друга. Все логики (опять-таки "логицисты". – В.А.) готовы признать, что их принципы вытекают из интеллектуальной интуиции, то есть являются объектами непосредственного познания разумом; но весьма немногие согласятся с тем, что они вытекают из чувственной интуиции и основываются, например.., на пространственных схемах" (18, 68-69).
Упрек Кутюра несправедлив. В нем верно, что Пуанкаре не всегда точно характеризует свою интуицию как интеллектуальную. Но приведенный выше разбор четырех видов аксиом доказывает, что Пуанкаре четко отличал интуицию интеллектуальную от чувственной. Когда он говорит о математических рассуждениях, опирающихся на принцип полной индукции, и когда он утверждает, что этот принцип предполагает обращение к интуиции, он имеет в виду именно интеллектуальную интуицию, как ее понимает Кутюра.
В книге "Ценность науки", в главе "Интуиция и логика в математике", подчеркивается интеллектуальная, не-чувственная природа интуиции, которые необходимы аналитикам для открытий в математике. Чтобы иметь возможность быть изобретателями, аналитики, по утверждению Пуанкаре, "должны без помощи чувств и воображения иметь непосредственное ощущение того, что создает единство рассуждения..." (77, 33). Пуанкаре настаивает на том, что "интуиция чистого числа – та, из которой может быть получена строгая математическая индукция, – отличается от чувственной интуиции, для которой работает воображение в собственном смысле" (77, 32). У интуиции чувственной и интуиции интеллектуальной "не один и тот же объект, и они, по-видимому, пользуются двумя различными способностями нашей души; можно сказать, что это два прожектора, наведенные на два чуждые друг другу мира" (77, 33). Различию этих двух способностей соответствует и различие предмета познания, познавательных задач. Интеллектуальная интуиция – орган познания и необходимое условие научного творчества в сфере анализа: "Интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм как раз озаряет и направляет тех, кого мы назвали аналитиками" (77, 33). Именно она позволяет им "не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они подмечают сразу общий план логического здания" (77, 33).
На этот интеллектуальный характер интуиции Пуанкаре не обратил внимания Кутюра в своей полемике против него. Он как будто не замечает, что Пуанкаре, как было здесь показано, не только настаивает на существовании интеллектуальной интуиции, но и признает за ней чрезвычайно важное значение. Не станем слишком винить Кутюра в этой невнимательности. Пуанкаре сам подал повод к недоразумению. Как было уже указано, его суждения о видах интуиции и об отношении между ними весьма непоследовательны. В одних случаях у него вполне ясно выступает понятие об интеллектуальной интуиции, и она четко отделяется от интуиции чувственной. Но он не придерживается строго этого разграничения. Точнее говоря, он полагает, что интеллектуальная интуиция – очень редкий дар и свойственна очень немногим умам. Замечательно владел ею, по мнению Пуанкаре, французский математик Эрмит (Hermite). В беседах он "никогда не прибегал к чувственному образу" (77, 32). И все же собеседник скоро замечал, что самые абстрактные сущности были для него как бы живыми существами.
Выделяя интеллектуальную интуицию, Пуанкаре ограничивает ее применение в математике. Он видит, что в науке нового времени сфера интуиции заметно сужается. Современное сознание требует у интуиции все больше и больше уступок в пользу логики. Этот процесс Пуанкаре считает понятным и даже правомерным. "Интуиция, – говорит он, – не может дать нам строгости, ни даже достоверности – это замечается все больше и больше" (77, 17). Строго сформулированные, логически доказанные предложения подрывают доверие к интуиции. Например, смутная идея непрерывности, которой математика первоначально была обязана интуиции, разрешилась по мере успехов анализа в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.
И все же заключение "логицистов", будто в математике пришла пора вовсе освободиться от необходимости прибегать в своих рассуждениях к интуиции, не может быть, по мнению Пуанкаре, обосновано: "Чистая логика всегда привела бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке" (77, 20). Чтобы создать арифметику, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было иную науку, "необходимо нечто другое, чем чистая логика" (77, 20). Это другое – интуиция, но не основывающаяся на чувствах и воображении или на простом индуктивном обобщении, а "интуиция чистого числа" (77, 22). "В новейшем анализе.., – говорит Пуанкаре, – находят место лишь силлогизмы и апелляция к этой интуиции чистого числа – единственной интуиции, которая не может обмануть нас" (77, 22-23). Именно поэтому можно сказать, что ныне "достигнута абсолютная строгость" (77, 23).
Такое понимание интуиции является "интуицизмом" ограниченным. В процессе "арифметизации" геометрии и "логизации" математики в целом Пуанкаре видел процесс правомерный и плодотворный для науки. Он готов был согласиться с тем, что аксиомы геометрии не интуитивно постигаемые "самоочевидные истины", а скрытые дефиниции. Соглашаясь с тем, что в основе геометрии лежат "свойства твердых тел" (76, 66), что метрическая геометрия есть изучение твердых тел, а проективная геометрия – изучение света, он, однако, не мог согласиться с утверждением, будто геометрия – опытная наука, так как в таком случае "она не была бы наукой точной и должна была бы подвергаться постоянному пересмотру" (76, 66). В этом вопросе он не антагонист Рассела, Кутюра, а их единомышленник. Но он никак не мог согласиться с тем, что таковы же аксиомы арифметики. "Я не говорю, – пояснял он тут же, – об аксиомах арифметики" (76, 67). Для "логизации" арифметики, по его мнению, существует предел.
Сказанным объясняется непримиримость его полемики с "логицистами", которых он называет "логиками". По вопросу о принципе полной индукции он не хотел идти на уступки. Поэтому он выдвигает против "логицистов" возражение: арифметика опирается не на логические определения (которые будто бы представляют нечто условное), а на аксиомы, в которых Пуанкаре видит положения, усматриваемые интуитивно. Он полагает, что существование математического "принципа полной индукции" и подобных ему принципов "является камнем преткновения для непримиримых логиков" (18, 5). Согласно мнению "логиков" (то есть "логицистов"), принцип полной индукции "не есть аксиома в собственном смысле слова и не синтетическое суждение a priori, это просто определение целого числа. Значит, это – простое условное соглашение (convention. – В.А.)" (18, 5). Взгляд этот дает полное основание для причисления Пуанкаре к "конвенционалистам". Из многочисленных конвенционалистских высказываний Пуанкаре напомним лишь некоторые. "Геометрия, – читаем мы в его статье "Пространство и время", – есть некоторое условное соглашение, своего рода компромисс между нашей любовью к простоте и нашим желанием не слишком далеко удалиться от того, что нам сообщают наши инструменты" (15, 79). Здесь Пуанкаре говорит о геометрии не как математик, а как плохой философ.
Рассуждая о геометрических аксиомах, Пуанкаре полагает, будто они (в отличие от аксиом анализа) "не являются ни априорными синтетическими суждениями, ни экспериментальными фактами. Они суть условные соглашения (des conventions)... Самый выбор остается свободным и ограничен лишь необходимостью избегать всякого противоречия" (76, 66).
Наконец, такими же "условными соглашениями" он называет новый взгляд теории относительности на пространство и время как на четырехмерный континуум: "Мы усвоили известное условное соглашение, потому что оно казалось нам удобным, и мы сказали, что ничто не может заставить нас покинуть его" (15,90).
Философскую путаницу и беспомощность Пуанкаре, его колебания то в сторону идеализма, то в сторону материализма, релятивизм, смешение материалистического и идеалистического понятий об опыте, его принадлежность к школе Маха в понимании законов природы отмечал В.И.Ленин в работе "Материализм и эмпириокритицизм". Пуанкаре, будучи математиком и физиком, "не интересуется, – пишет В.И.Ленин, – сколько-нибудь существенно философской стороной вопроса (об отношении научных понятий к реальности. – В.А.)" (2, 240). Там же, где Пуанкаре все-таки вступает в сферу философии, Ленин оценивает его философские взгляды (так же и взгляды П.Дюгема) как "особенно сбивчивые и непоследовательные" (2, 41). "..."Философию" Пуанкаре достаточно только отметить и пройти мимо..." (2, 279). Но, будучи, по словам Ленина, "мелким философом" (2, 152), Пуанкаре часто в ходе своих специальных научных работ "оступается" в область философии. В философии он обнаруживает явный крен в конвенционализм. Ленин указал, что Пуанкаре "вполне в духе Маха выводит законы природы – вплоть до того, что пространство имеет три измерения, – из "удобства"" (2, 283).
Так обстоит дело в плане философии, теории познания. Однако в математическом споре о логическом характере математики Пуанкаре не конвенционалист. В этом споре он, напротив, нападает на "логицистов" именно за то, что в принципе полной индукции они видят только логическое определение или, еще точнее, только условное соглашение. Свою критику Пуанкаре изложил особенно обстоятельно в статье "Математика и логика". По его разъяснению, "слово существовать в математике может иметь только один смысл, оно означает именно отсутствие противоречия... Определяя какой-либо предмет, утверждают, что это определение не заключает в себе противоречия" (18, 6-7). Если дана система постулатов и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают в себе противоречия, то, согласно Пуанкаре, мы действительно вправе сказать, что они представляют определение одного из фигурирующих в них понятий. Но если мы не можем доказать этого, "то приходится принять это положение без доказательства, и тогда оно является аксиомой" (18, 7). В этом случае, "если бы мы захотели искать определение в постулате, мы бы все же нашли аксиому в определении" (18, 7).
Именно так обстоит дело, согласно взгляду Пуанкаре, с принципом полной индукции. Ведь при исследовании отсутствия противоречия приходится ссылаться "на тот самый принцип полной индукции, который как раз и надлежит проверить" (18, 8). Недоказуемые принципы, составляющие исходные положения математики, утверждает Пуанкаре, "суть не что иное, как обращения к интуиции..." (18, 19). Из девяти указанных "логицистами" неопределимых понятий и из двадцати недоказуемых положений (Пуанкаре даже думает, что их больше), образующих устои "логицизма", "каждое предполагает новый и независимый акт нашей интуиции..." (18, 20).
До сих пор Пуанкаре возражал Расселу как математик математику или как логик логику, и с этим его возражением нельзя не считаться. Но, верный своему кантианскому предрассудку, он тут же добавляет: а почему не сказать прямо, что каждый такой новый и независимый акт интуиции есть "подлинное синтетическое суждение a priori" (18, 20)? Выдвигая это предложение, Пуанкаре покидает почву науки и становится на почву ошибочного идеалистического априоризма кантовского типа.
Но против "логицистов" Пуанкаре выдвигает и другое возражение. "Логицисты" не только полагают в основу математики чисто логические определения, лишенные интуитивной непосредственности. Они, кроме того, утверждают, что если интуитивные элементы еще можно встретить среди исходных положений математической дедукции, то уж во всяком случае они нигде не могут встретиться в самой дедукции. Пуанкаре так понял этот тезис "логицистов": они говорят, что, делая начальные ссылки на интуитивно найденные положения, они обращаются к интуиции в последний раз; что больше им к помощи интуиции обращаться не придется и что в дальнейшем можно будет строить математику, не обращаясь к посредству какого-либо нового элемента (см. 78, 176). Пуанкаре доказывает, что это утверждение "логицистов" осталось у них необоснованным, так же как и утверждение о чисто логическом характере исходных определений математики. Разбирая доказательства Рассела (и попутно Гильберта, который, как признает сам Пуанкаре, не был "логицистом" в духе Рассела), Пуанкаре находит, что еще до того как "логицисты" обосновывают в своих рассуждениях принцип полной индукции, они применяют – без доказательства – этот же принцип и, следовательно, сами того не замечая, обращаются к интуиции.
В книге "Наука и гипотеза" рассуждение, в котором применена математическая полная индукция, называется "рекуррентным рассуждением" (le raisonnement par récurrence). И здесь Пуанкаре опровергает мнение тех, кто надеется обосновать принцип полной индукции посредством аналитической логики и доказательства. Правда, утверждает Пуанкаре, можно легко переходить от одного выражения к другому и создавать для себя таким образом иллюзию, будто доказали законность рекуррентного рассуждения (см. 76, 22). Но в конце концов всегда приходится остановиться: мы всегда придем к недоказуемой аксиоме, которая в сущности будет не чем иным, как предложением, подлежащим доказательству и лишь переведенным на другой язык. В результате "нельзя не прийти к заключению, что способ рекуррентного рассуждения не сводим к принципу противоречия" (76, 23).
В конце исследования, посвященного вопросу об интеллектуальной интуиции в математике, Пуанкаре приходит к выводу, что эта интуиция, как факт математического знания, как условие математического рассуждения, существует. Вывод этот не должен остаться без дальнейшего рассмотрения. Здесь естественно и совершенно неизбежно возникают вопросы: каково реальное происхождение (генезис) этого факта? В каком отношении стоит непосредственное усмотрение (интеллектуальная интуиция) к предшествующему ему опыту-к чувствам, к интуициям чувственным? Иначе, каким образом опосредствована в ходе развивающегося познания "непосредственность" математической интуитивной "очевидности"? Каков путь практики, приводящий математическую науку на высоких ступенях ее развития к актам созерцания, или к усмотрениям, которые на этих ступенях представляются уже как "непосредственные"? Пуанкаре понимает, что такие вопросы правомерны. Он сам формулирует их (хотя далеко не точно) как вопросы о генетической связи между интуицией интеллектуальной и интуицией чувственной. "Не менее ли глубока, – спрашивает Пуанкаре, – чем кажется с первого взгляда, пропасть, которая разделяет их? Не окажется ли при небольшом внимании, что эта чистая интуиция сама по себе не может обойтись без помощи чувств?" (77, 32). Но, поставив "с грехом пополам" вопрос, Пуанкаре отказывается сколько-нибудь серьезно исследовать его. "Это, – говорит он, – дело психолога и метафизика (то есть философа. – В.А.), и я не стану разбирать этот вопрос" (77, 32). Пуанкаре даже не подозревает, что ответ на сформулированный им вопрос о связи интеллектуальной интуиции с практикой, с чувственным опытом дан в философии диалектическим материализмом. "...Беда Дюгема, Сталло, Маха, Пуанкаре", как показал В.И.Ленин, в том, "что двери, открытой диалектическим материализмом, они не видят" (2, 297).
Если бы Пуанкаре ограничился одним лишь утверждением о существовании интеллектуальной интуиции в математике, то с философской точки зрения его тезис не вызывал бы возражений. Он был бы "только" недостаточным. Он подлежал бы рассмотрению, оценке и критике, но только с точки зрения математической, "вмешиваться" в которую философия не может. Если математика признает, что принцип математической полной индукции вводится "не на основе закона противоречия", то есть не посредством логического доказательства, а посредством "интеллектуальной интуиции" (как утверждает Пуанкаре в выше процитированном нами месте), то философский вопрос мажет состоять лишь в том, каким образом на основе практики, повторяющейся в миллиардах случаев, могли сложиться и кристаллизоваться в математическом мышлении эти "интуиции", или "непосредственные" усмотрения разума. Так ставит вопрос об интуитивном знании диалектический материализм, и это единственно правильная его постановка.
Но Пуанкаре спорит с "логицистами" не только как математик одной школы с математиками другой школы. В свои математические рассуждения он привносит свои философские предрассудки. Правомерно доказывая (в качестве математика), что оправдание принципа полной индукции не может быть достигнуто с помощью одного лишь логического закона противоречия, он предлагает неверное, идеалистическое, объяснение этой невозможности. Он правильно отвергает конвенционалистское объяснение принципа полной индукции. "Нельзя видеть в нем, – поясняет он, – только условное соглашение" (76, 23). Но он ошибочно полагает, будто этот принцип "есть истинный образец априорного синтетического суждения" (76, 23). Пуанкаре соглашается, что нельзя ввести принцип полной индукции, не поставив вопрос о том, "почему же суждение, выражающее этот принцип, возникает перед нами с непреодолимой очевидностью?" (76, 23). Но его ответ на этот вопрос не содержит ни малейшего упоминания о роли практики и потому звучит отвлеченно и вполне идеалистически: "Здесь обнаруживается только (курсив мой. – В.А.) утверждение могущества разума, который способен постичь бесконечное повторение одного и того же акта, раз этот акт возможен хотя бы однажды" (76, 23-24). Таким образом, конвенционалистское объяснение принципа полной индукции хотя и отвергается, однако не с позиций материализма и материалистического понимания практики, а с позиций априористического идеализма.
В работах Пуанкаре необходимо четко отделять то, что в них относится к их специальному – математическому – содержанию, от того, что навеяно и внушено их философской – гносеологической – тенденцией. Пуанкаре – крупнейший математик и физик. Постановка вопроса об интуиции возникла у него из потребности выяснить, какую роль может играть логика и, в частности, логический принцип противоречия при обосновании рекуррентного рассуждения – начала математической полной индукции. Решение этого вопроса в значительной мере обусловлено у Пуанкаре специально математическими соображениями. Такой же специальный смысл имела и его принципиальная полемика с "логицистами". Это был спор между математиками о границах формально-логических принципов в обосновании математики как науки. Но, развивая свои взгляды, Пуанкаре не остался внутри пределов математики и, выйдя из них, перешел на почву философии. Войдя в интеллектуальную атмосферу буржуазной философии, господствовавшей в конце XIX – начале XX в. в Европе, Пуанкаре некритически усвоил ряд идей, сближавших его воззрения с воззрениями Канта (априоризм, теория априорных синтетических суждений, взгляд на пространство и время как на интуитивные формы чувственности и т.п.), с воззрениями Маха (принцип экономии мышления), прагматистов ("удобство" как основание для выбора аксиом). Срывы, ведущие к "конвенционализму" и противоречившие основной линии Пуанкаре, как математика, могут быть объяснены этими влияниями.